【題目】如圖所示,底面ABC為正三角形,EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABCEAAB=2DC=2a,設(shè)FEB的中點.

(1)求證:DF∥平面ABC

(2)求直線AD與平面AEB所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)過點FFHEAAB于點H,根據(jù)平幾知識可得CDFH是平行四邊形,即得DFCH,再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論(2)先根據(jù)正三角形性質(zhì)得CHAB,再根據(jù)線面垂直判定定理得CH⊥平面AEB,即得DF⊥平面AEB,從而∠DAF為直線AD與平面AEB所成的角.最后解直角三角形得直線AD與平面AEB所成角的正弦值.

試題解析:(1)證明 如圖,過點FFHEAAB于點H,連接HC.

EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,

EADC.

FHEA

FHDC.

FEB的中點,

FHAEDC.

∴四邊形CDFH是平行四邊形,

DFCH.

CH平面ABC,DF平面ABC

DF∥平面ABC.

(2)解 ∵△ABC為正三角形,HAB的中點,∴CHAB.

EA⊥平面ABC,CH平面ABC,

CHEA.

EAABA,EA平面AEB,

AB平面AEB,

CH⊥平面AEB.

DFCH,

DF⊥平面AEB

AFDA在平面AEB上的投影,

∴∠DAF為直線AD與平面AEB所成的角.

在Rt△AFD中,ADaDFa,sin∠DAF,

∴直線AD與平面AEB所成角的正弦值為.

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