【題目】設(shè)函數(shù)(),,
(Ⅰ) 試求曲線在點(diǎn)處的切線l與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù);(Ⅱ) 若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(附:當(dāng),x趨近于0時(shí), 趨向于)
【答案】(1)兩個(gè)公共點(diǎn);(2).
【解析】試題分析:(1)計(jì)算出及,根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程,將切線方程與聯(lián)立可得方程,設(shè),對(duì)其求導(dǎo),可得其在內(nèi)的單調(diào)性,結(jié)合, ,可得零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)題意等價(jià)于在至少有兩不同根,當(dāng)時(shí), 是的根,根據(jù)圖象的交點(diǎn)可知有一個(gè)零點(diǎn),除去同根;當(dāng)顯然不合題意;當(dāng)時(shí),題意等價(jià)于在至少有兩不同根,對(duì)其求導(dǎo)判斷單調(diào)性,考慮極值與兩端的極限值可得結(jié)果.
試題解析:(1)∵, ,
切線的斜率為,
∴切線的方程為,即,
聯(lián)立,得;
設(shè),則,
由及,得或,
∴在和上單調(diào)遞增,可知在上單調(diào)遞減,
又, ,所以, ,
∴方程有兩個(gè)根:1和,從而切線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn).
(2)由題意知在至少有兩不同根,
設(shè),
①當(dāng)時(shí), 是的根,
由與()恰有一個(gè)公共點(diǎn),可知恰有一根,
由得,不合題意,
∴當(dāng)且時(shí),檢驗(yàn)可知和是的兩個(gè)極值點(diǎn);
②當(dāng)時(shí), 在僅一根,所以不合題意;--9分
③當(dāng)時(shí),需在至少有兩不同根,
由,得,所以在上單調(diào)遞增,
可知在上單調(diào)遞減,
因?yàn)?/span>, 趨近于0時(shí), 趨向于,且時(shí), ,
由題意知,需,即,解得,
∴.
綜上知, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù),且f(2)= .
(1)求實(shí)數(shù)m和n的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上的單調(diào)性,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=4n,數(shù)列{bn}滿足b1=-3,
bn+1=bn+(2n-3)(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)若cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為。
(Ⅰ)求直線l以及曲線C的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求△PAB的面積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓的左焦點(diǎn)為,直線與橢圓相交于點(diǎn),當(dāng)的周長(zhǎng)最大時(shí), 的面積是( 。
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,已知直線l1: (, ),拋物線C: (t為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求直線l1 和拋物線C的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線l1 和拋物線C相交于點(diǎn)A(異于原點(diǎn)O),過(guò)原點(diǎn)作與l1垂直的直線l2,l2和拋物線C相交于點(diǎn)B(異于原點(diǎn)O),求△OAB的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2﹣2x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)作出函數(shù)f(x)的圖象,并指出其單調(diào)區(qū)間.(不需要嚴(yán)格證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=e1+|x|﹣ ,則使得f(x)>f(2x﹣1)成立的x的取值范圍是( )
A.
B.
C.(﹣ , )
D.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知平面直角坐標(biāo)系,以為極點(diǎn), 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 點(diǎn)的極坐標(biāo)為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)寫出點(diǎn)的直角坐標(biāo)及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求的中點(diǎn)到直線: 的距離的最小值.
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