【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，且，平面平面，，，O為的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意先證明平面得，證明平面，即可求證；（2）分別以,,為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用面面角公式求解.

(1)如圖,連接，，

在矩形中，，O為的中點(diǎn)，

所以，

因?yàn)?/span>,

所以為正三角形，

又O為的中點(diǎn)，所以，

又平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，

又平面，

所以，

又，

所以平面

又平面，

所以

（2）取的中點(diǎn),連接,則

所以OA, OB ,OE兩兩垂直，

如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,為x軸,y軸,z軸的正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系,

則

設(shè)平面OBC的法向量為

則，即

令,

得是平面OBC的一個(gè)法向量，

設(shè)平面的法向量為

則，即

令, 得平面的一個(gè)法向量為

則

由圖知二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)奇函數(shù)上是增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了研究某學(xué)科成績(jī)是否與學(xué)生性別有關(guān)，采用分層抽樣的方法，從高三年級(jí)抽取了30名男生和20名女生的該學(xué)科成績(jī)，得到如下所示男生成績(jī)的頻率分布直方圖和女生成績(jī)的莖葉圖，規(guī)定80分以上為優(yōu)分（含80分）．

（Ⅰ）（i）請(qǐng)根據(jù)圖示，將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；


優(yōu)分

非優(yōu)分

總計(jì)

男生




女生




總計(jì)



50

（ii）據(jù)此列聯(lián)表判斷，能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)10%的前提下認(rèn)為“該學(xué)科成績(jī)與性別有關(guān)”？

（Ⅱ）將頻率視作概率，從高三年級(jí)該學(xué)科成績(jī)中任意抽取3名學(xué)生的成績(jī)，求至少2名學(xué)生的成績(jī)?yōu)閮?yōu)分的概率．

附：


0.100

0.050

0.010

0.001


2.706

3.841

6.635

10.828

．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，正方體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的空心蔬菜大棚，由8個(gè)鋼結(jié)構(gòu)（地面沒有）組合搭建而成的，四個(gè)側(cè)面及頂上均被可采光的薄膜覆蓋，已知為柱上一點(diǎn)（不在點(diǎn)、處），（），菜農(nóng)需要在地面正方形內(nèi)畫出一條曲線將菜地分隔為兩個(gè)不同的區(qū)域來(lái)種植不同品種的蔬菜以加強(qiáng)管理，現(xiàn)已知點(diǎn)為地面正方形內(nèi)的曲線上任意一點(diǎn)，設(shè)、分別為在點(diǎn)處觀測(cè)和的仰角.

（1）若，請(qǐng)說(shuō)明曲線是何種曲線，為什么？

（2）若為柱的中點(diǎn)，且時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)所在區(qū)域的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】遼寧號(hào)航母紀(jì)念章從2012年10月5日起開始上市，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到該紀(jì)念章每1枚的市場(chǎng)價(jià)y（單位：元）與上市時(shí)間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：

上市時(shí)間x天

8

10

32

市場(chǎng)價(jià)y元

82

60

82

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述遼寧號(hào)航母紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系并說(shuō)明理由：①；②；③.

（2）利用你選取的函數(shù)，求遼寧號(hào)航母紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次動(dòng)物保護(hù)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參'與問(wèn)卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：

組別

男

2

3

5

15

18

12

女

0

5

10

15

5

10

若規(guī)定問(wèn)卷得分不低于70分的市民稱為“動(dòng)物保護(hù)關(guān)注者”，則山圖中表格可得列聯(lián)表如下：

非“動(dòng)物保護(hù)關(guān)注者”

是“動(dòng)物保護(hù)關(guān)注者”

合計(jì)

男

10

45

55

女

15

30

45

合計(jì)

25

75

100

（1）請(qǐng)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．05的前提下認(rèn)為“動(dòng)物保護(hù)關(guān)注者”與性別有關(guān)？

（2）若問(wèn)卷得分不低于80分的人稱為“動(dòng)物保護(hù)達(dá)人”．現(xiàn)在從本次調(diào)查的“動(dòng)物保護(hù)達(dá)人”中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6名市民參與環(huán)保知識(shí)問(wèn)答，再?gòu)倪@6名市民中抽取2人參與座談會(huì)，求抽取的2名市民中，既有男“動(dòng)物保護(hù)達(dá)人”又有女“動(dòng)物保護(hù)達(dá)人”的概率．

附表及公式：，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，把滿足條件的所有數(shù)列構(gòu)成的集合記為.

（1）若數(shù)列通項(xiàng)為，求證：；

（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求的取值范圍；

（3）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，數(shù)列中是否存在無(wú)窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列，若存在，給出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，，且與平面所成的角為，求二面角的平面角的余弦值．

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