【題目】設(shè)函數(shù),mR

(Ⅰ)當(dāng)m=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時,求f(x)的極小值;

(Ⅱ)討論函數(shù)零點的個數(shù).

【答案】(1)當(dāng)x=e時,f(x)取得極小值2(2)見解析

【解析】試題分析:(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,函數(shù)的極值點為 ,所以得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,也就得到函數(shù)的最小值了;(2)根據(jù) ,參變分離后得到 ,設(shè) ,通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,以及圖象特征,轉(zhuǎn)化為 與函數(shù)的交點個數(shù)問題.

試題解析:(1)當(dāng)時, ,

當(dāng)時, , 上是減函數(shù);

當(dāng)時, 上是增函;

當(dāng)時, 取最小值

(2)函數(shù),

,得

設(shè),則

當(dāng)時, 上是增函數(shù);

當(dāng)時, , 上是減函數(shù);

當(dāng)的極值點,且是唯一極大值點,的最大值點;

的最大值為,又結(jié)合的圖像,

可知:

①當(dāng)時,函數(shù)無零點;

②當(dāng)時,函數(shù)有且只有一個零點;

③當(dāng)時,函數(shù)有兩個零點;

④當(dāng)時,函數(shù)有且只有一個零點;

綜上:

當(dāng)時,函數(shù)無零點;當(dāng)時,函數(shù)有且只有一個零點;當(dāng)時,函數(shù)有且只有兩個零點.

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