Question

【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,點(diǎn)在線段PC上,且三棱錐的體積是四棱錐的體積的,,平面.

（1）若是的中點(diǎn),證明:直線∥平面;

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）要證明直線∥平面,只需證明∥,即可求得答案;

（2）取的中點(diǎn),連接,過作交于點(diǎn),求證為所求二面角的平面角,結(jié)合已知條件,即可求得答案.

（1）根據(jù)題意畫出立體圖形,如圖:

由題意,,

即,

則,即點(diǎn)為的三等分點(diǎn),

是的中點(diǎn),

為的中點(diǎn),

連接交于點(diǎn),則為的中點(diǎn),連接,

在中,為中位線,故∥,

不在平面內(nèi),在平面內(nèi),

∥平面;

（2）取的中點(diǎn),連接,過作交于點(diǎn),

為等邊三角形,

,

平面,在平面內(nèi),

,

平面,

由三垂線定理可知,為所求二面角的平面角,

為等邊三角形,,

,

又,

,

, ,

,

可得:,

即二面角的正弦值為.