【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求證:PC⊥BC;
(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

【答案】
(1)證明:因為PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,所以PD⊥BC.

由∠BCD=90°,得CD⊥BC,

又PD∩DC=D,PD、DC平面PCD,

所以BC⊥平面PCD.

因為PC平面PCD,故PC⊥BC.


(2)解:(方法一)分別取AB、PC的中點(diǎn)E、F,連DE、DF,則:

易證DE∥CB,DE∥平面PBC,點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等.

又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍.

由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,

因為PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F.

易知DF= ,故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于

(方法二)等體積法:連接AC.設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h.

因為AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°.

從而AB=2,BC=1,得△ABC的面積SABC=1.

由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱錐P﹣ABC的體積

因為PD⊥平面ABCD,DC平面ABCD,所以PD⊥DC.

又PD=DC=1,所以

由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面積

由VAPBC=VPABC, ,得 ,

故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于


【解析】(1),要證明PC⊥BC,可以轉(zhuǎn)化為證明BC垂直于PC所在的平面,由PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°,容易證明BC⊥平面PCD,從而得證;(2),有兩種方法可以求點(diǎn)A到平面PBC的距離: 方法一,注意到第一問證明的結(jié)論,取AB的中點(diǎn)E,容易證明DE∥平面PBC,點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等,而A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍,由第一問證明的結(jié)論知平面PBC⊥平面PCD,交線是PC,所以只求D到PC的距離即可,在等腰直角三角形PDC中易求;
方法二,等體積法:連接AC,則三棱錐P﹣ACB與三棱錐A﹣PBC體積相等,而三棱錐P﹣ACB體積易求,三棱錐A﹣PBC的地面PBC的面積易求,其高即為點(diǎn)A到平面PBC的距離,設(shè)為h,則利用體積相等即求.

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