【題目】集合M={1,2…9}中抽取3個不同的數(shù)構(gòu)成集合{a1 , a2 , a3}
(1)對任意i≠j,求滿足|ai﹣aj|≥2的概率;
(2)若a1 , a2 , a3成等差數(shù)列,設(shè)公差為ξ(ξ>0),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】
(1)解:M有9個元素,抽取3個元素,有 =84種,
對任意的i≠j,i,j∈{1 2 3} 滿足|ai﹣aj|≥2的取法:
② 最小取1的: =15種,
②最小取2的: =10種,
③最小取3的: =6種,
④最小取4的: =3種,
⑤最小取5的: =1種,
故共有15+10+6+3+1=35種,
故滿足|ai﹣aj|≥2的概率為
(2)解:∵若a1,a2,a3成等差數(shù)列,設(shè)公差為ξ(ξ>0),則ξ=1,2,3,4,
ξ=1即三個連續(xù)的數(shù),有7種,ξ=2即三個連續(xù)的奇數(shù)或偶數(shù),有5種,.ξ=3,有(1,4,7),)2,5,8),(3,6,9)3種,ξ=4只有1種(1,5,9),
故成等差數(shù)列的一共有7+5+3+1=16.
則P(ξ=1)= ,則P(ξ=2)= ,則P(ξ=3)= ,P(ξ=4)= ,
分布列為:
ξ | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
故E((ξ)=1× +2× +3× +4× =
【解析】(1)先求出M有9個元素,抽取3個元素的種數(shù),在分類求出|ai﹣aj|≥2的種數(shù),根據(jù)概率公式計算即可.(2)結(jié)合變量對應(yīng)的事件和等差數(shù)列,寫出變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解等差數(shù)列的性質(zhì)(在等差數(shù)列{an}中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng);相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:x-2y+3=0與直線l2:2x+3y-8=0的交點(diǎn)為M,
(1)求過點(diǎn)M且到點(diǎn)P(0,4)的距離為2的直線l的方程;
(2)求過點(diǎn)M且與直線l3:x+3y+1=0平行的直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過原點(diǎn)的動直線與圓 相交于不同的兩點(diǎn).
(1)求圓的圓心坐標(biāo);
(2)求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使得直線 與曲線只有一個交點(diǎn)?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, , .
(1)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,“”為真命題,“”為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩縣城A和B相距20km,現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠,其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān),對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和,記C點(diǎn)到城A的距離為xkm,建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計調(diào)查表明:垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比,比例系數(shù)為4;對城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比,比例系數(shù)為k,當(dāng)垃圾處理廠建在的 中點(diǎn)時,對城A和城B的總影響度為0.065.
(1)將y表示成x的函數(shù);
(2)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性,并判斷弧 上是否存在一點(diǎn),使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小?若存在,求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸)、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費(fèi),超出的部分按議價收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中a的值;
(Ⅱ)設(shè)該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;
(Ⅲ)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計的值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A,B是橢圓 =1和雙曲線 =1的公共頂點(diǎn),其中a>b>0,P是雙曲線上的動點(diǎn),M是橢圓上的動點(diǎn)(P,M都異于A,B),且滿足 =λ( )(λ∈R),設(shè)直線AP,BP,AM,BM的斜率分別為k1 , k2 , k3 , k4 , 若k1+k2= ,則k3+k4= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若命題p:從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題q:在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M,則∠AMB>90°的概率為 ,則下列命題是真命題的是( )
A.p∧q
B.(p)∧q
C.p∧(q)
D.q
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