設數(shù)列,,,已知,,,,,().
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求證:對任意,為定值;
(3)設為數(shù)列的前項和,若對任意,都有,求實數(shù)的取值范圍.
(1);(2)證明見解析;(3).
解析試題分析:(1)根據(jù)已知條件與待求式,作差,可得,而,故數(shù)列是等比數(shù)列,通項公式可求;(2)考慮要證的表達式求和
,表面上看不出什么,但由,可得,由由,可以想象,是常數(shù),因此可用數(shù)學歸納法證明;(3)由(1)(2)可解得,那么其前項和可用分組求和法求得,,這樣我們就可求出,,相當于,由于,從而,一直是我們只要求得的最大值和的最小值,則就是,由此可求得的范圍.
試題解析:(1)因為,,所以(), (1分)
所以,,
, (2分)
即數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列, (3分)
所以. (4分)
(2)解法一:, (1分)
因為,所以,,
猜測:(). (2分)
用數(shù)學歸納法證明:
①當時,,結論成立; (3分)
②假設當()時結論成立,即,那么當時,,即時結論也成立. (5分)
由①,②得,當時,恒成立,即恒為定值.(6分)
解法二:, (1分)
所以,(4分)
而,所以由上述遞推關系可得,當時,恒成立,即恒為定值.(6分)
(3)由(1)、(2)知,所以,(1分)
所以,
所以, (2分)
由得,
因為,所以
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知等比數(shù)列中,,,,分別為△ABC的三個內角A,B,C的對邊,且.
(1)求數(shù)列的公比;
(2)設集合,且,求數(shù)列的通項公式.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列和滿足:,其中為實數(shù),為正整數(shù).
(1)對任意實數(shù),求證:不成等比數(shù)列;
(2)試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列,并證明你的結論.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
某市為控制大氣PM2.5的濃度,環(huán)境部門規(guī)定:該市每年的大氣主要污染物排放總量不能超過55萬噸,否則將采取緊急限排措施.已知該市2013年的大氣主要污染物排放總量為40萬噸,通過技術改造和倡導綠色低碳生活等措施,此后每年的原大氣主要污染物排放最比上一年的排放總量減少10%.同時,因為經濟發(fā)展和人口增加等因素,每年又新增加大氣主要污染物排放量萬噸.
(1)從2014年起,該市每年大氣主要污染物排放總量(萬噸)依次構成數(shù)列,求相鄰兩年主要污染物排放總量的關系式;
(2)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(3)若該市始終不需要采取緊急限排措施,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(2013•湖北)已知等比數(shù)列{an}滿足:|a2﹣a3|=10,a1a2a3=125.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)是否存在正整數(shù)m,使得?若存在,求m的最小值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
等比數(shù)列{an}中,a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且a1,a2,a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足:bn=an+(-1)nlnan,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn·
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
學校餐廳每天供應500名學生用餐,每星期一有A, B兩種菜可供選擇。調查表明,凡是在這星期一選A菜的,下星期一會有改選B菜;而選B菜的,下星期一會有改選A菜。用分別表示第個星期選A的人數(shù)和選B的人數(shù).
⑴試用表示,判斷數(shù)列是否成等比數(shù)列并說明理由;
⑵若第一個星期一選A種菜的有200人,那么第10個星期一選A種菜的大約有多少人?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
我們把一系列向量排成一列,稱為向量列,記作,又設,假設向量列滿足:,。
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)設表示向量間的夾角,若,記的前項和為,求;
(3)設是上不恒為零的函數(shù),且對任意的,都有,若,,求數(shù)列的前項和.
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