【題目】已知函數(shù)(其中,且為常數(shù)).

(1)若對(duì)于任意的,都有成立,求的取值范圍;

(2)在(1)的條件下,若方程上有且只有一個(gè)實(shí)根,求的取值范圍.

【答案】(1);(2)

【解析】試題分析:(1)求導(dǎo)f′(x)=2(x﹣1)+a(﹣1)=(x﹣1)(2﹣),且f(1)=0+a(ln1﹣1+1)=0,從而討論以確定函數(shù)的單調(diào)性,從而解得;

(2)化簡(jiǎn)f(x)+a+1=(x﹣1)2+a(lnx﹣x+1)+a+1,從而討論以確定函數(shù)的單調(diào)性,從而解得.

試題解析:

解(1)

當(dāng)時(shí),對(duì)于恒成立,上單調(diào)遞增

,此時(shí)命題成立;

當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),.這與題設(shè)矛盾.

的取值范圍是

(2)依題意,設(shè),

原題即為若上有且只有一個(gè)零點(diǎn),的取值范圍.

顯然函數(shù)的單調(diào)性是一致的.

當(dāng)時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上遞減,上遞增,

所以上的最小值為,

由于,要使上有且只有一個(gè)零點(diǎn),

需滿足,解得;

當(dāng)時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)上單調(diào)遞增,

,

所以此時(shí)上有且只有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

又因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),總有,

,

所以上必有零點(diǎn),又因?yàn)?/span>上單調(diào)遞增,

從而當(dāng)時(shí),上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)時(shí),

方程上有且只有一個(gè)實(shí)根.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2017年12月,針對(duì)國(guó)內(nèi)天然氣供應(yīng)緊張的問題,某市政府及時(shí)安排部署,加氣站采取了緊急限氣措施,全市居民打響了節(jié)約能源的攻堅(jiān)戰(zhàn).某研究人員為了了解天然氣的需求狀況,對(duì)該地區(qū)某些年份天然氣需求量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并繪制了相應(yīng)的折線圖.

(Ⅰ)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合年度天然氣需示量 (單位:千萬立方米)與年份 (單位:年)之間的關(guān)系.并且已知關(guān)于的線性回歸方程是,試確定的值,并預(yù)測(cè)2018年該地區(qū)的天然氣需求量;

(Ⅱ)政府部門為節(jié)約能源出臺(tái)了《購(gòu)置新能源汽車補(bǔ)貼方案》,該方案對(duì)新能源汽車的續(xù)航里程做出了嚴(yán)格規(guī)定,根據(jù)續(xù)航里程的不同,將補(bǔ)貼金額劃分為三類,A類:每車補(bǔ)貼1萬元,B類:每車補(bǔ)貼2.5萬元,C類:每車補(bǔ)貼3.4萬元.某出租車公司對(duì)該公司60輛新能源汽車的補(bǔ)貼情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:

類型

車輛數(shù)目

10

20

30

為了制定更合理的補(bǔ)貼方案,政府部門決定利用分層抽樣的方式了解出租車公司新能源汽車的補(bǔ)貼情況,在該出租車公司的60輛車中抽取6輛車作為樣本,再?gòu)?輛車中抽取2輛車進(jìn)一步跟蹤調(diào)查.若抽取的2輛車享受的補(bǔ)貼金額之和記為“”,求的分布列及期望.

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【題目】已知在極坐標(biāo)系中曲線的極坐標(biāo)方程為:,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),點(diǎn).

(1)求出曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;

(2)設(shè)曲線與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.

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【題目】(2017吉林延邊州模擬)已知在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.

(1)求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡M的方程;

(2)P為軌跡M上的動(dòng)點(diǎn),△PBC的外接圓為☉O1,當(dāng)點(diǎn)P在軌跡M上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)O1x軸的距離的最小值.

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【題目】已知函數(shù)(其中,且為常數(shù)).

(1)若對(duì)于任意的,都有成立,求的取值范圍;

(2)在(1)的條件下,若方程上有且只有一個(gè)實(shí)根,求的取值范圍.

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【題目】對(duì)于下列四個(gè)命題:

p1:x0(0,+∞),;

p2:x0(0,1),lox0>lox0;

p3:x(0,+∞),<lox;

p4:x<lox.

其中的真命題是(  )

A. p1,p3 B. p1,p4

C. p2,p3 D. p2,p4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)

(1)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;

(2)證明:;

(3),這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于,求的取值范圍

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【題目】已知函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(1)若,當(dāng)時(shí),試比較2的大小;

(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍,并證明:

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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程是 α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;

2)設(shè) ,若l1,l2與曲線C分別交于異于原點(diǎn)的A,B兩點(diǎn),求△AOB的面積.

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