Question

【題目】如圖，四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分別為SA，SB的中點(diǎn)，E為CD中點(diǎn)，過(guò)M，N作平面MNPQ分別與BC，AD交于點(diǎn)P，Q，若 =t ．
（1）當(dāng)t= 時(shí)，求證：平面SAE⊥平面MNPQ；
（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值為 ？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：（1）E為CD中點(diǎn)，∴四邊形ABCE為矩形，

∴AE⊥CD，

當(dāng)t= 時(shí)，Q為AD中點(diǎn)，PQ∥CD，所以PQ⊥AE，

∵平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，∴SE⊥面ABCD，

∵PQ面ABCD，∴PQ⊥SE，∴PQ⊥面SAE，

所以面MNPQ⊥面SAE

（2）解：如圖，以E為原點(diǎn)，ED，EA，ES直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示坐標(biāo)系；

設(shè)ED=a，則M（（1﹣t）a，（ ﹣ ）a， a），E（0，0，0），A（0， ，0），

Q（（1﹣t）a， ，0）， =（0， ， ），

面ABCD一個(gè)方向向量為 =（1，0，0），

設(shè)平面MPQ的法向量 =（x，y，z），

則 ，取z=2，得 =（0， ，2），

平面ABCD的法向量為 =（0，0，1）

∵二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值為 ，

∴由題意：cosθ= = = ，

解得t= 或t= ，

由圖形知，當(dāng)t= 時(shí)，二面角M﹣PQ﹣A為鈍二面角，不合題意，舍去

綜上：t= ．

【解析】（1）推導(dǎo)出AE⊥CD，PQ⊥AE，從而SE⊥面ABCD，由此能證明面MNPQ⊥面SAE．（2）以E為原點(diǎn)，ED，EA，ES直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出t的值．