Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn).已知拋物線(是常數(shù))，頂點(diǎn)為.

(1)當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)在軸下方，當(dāng)時(shí)，求拋物線的解析式；

(3)無論取何值，該拋物線都經(jīng)過定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求拋物線的解析式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求得的值即可得；

（2）先求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)知點(diǎn)在第四象限且,列出關(guān)于的方程，解知可得；

（3）由知，過點(diǎn)作,交射線于點(diǎn),分別過點(diǎn)，作軸的垂線，垂足分別為，證得,據(jù)此知點(diǎn)的坐標(biāo)為或，再求出直線的解析式，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得的值即可得出答案.

（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)

解得：

拋物線解析式為

頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2）拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的下方，知點(diǎn)在第四象限，如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

則，可知，即，

解得：

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不在第四象限，舍去；

拋物線的解析式為；

（3）由，可知當(dāng)時(shí)，無論取何值時(shí)都等于，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作軸的垂線，垂足分別為

則

則點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

①當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，可得直線的解析式為

點(diǎn)在直線上，

，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，

；

②當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，可得直線的解析式為，

點(diǎn)在直線上，

，

解得：或，

則拋物線的解析式為或