Question

【題目】已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線(xiàn)與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是，點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)是，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線(xiàn)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入的坐標(biāo)運(yùn)算，求得的值，也即求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入橢圓，結(jié)合，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓的方程并寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，由此求得的面積，利用導(dǎo)數(shù)求得面積的最大值，并由三角形與內(nèi)切圓有關(guān)的面積公式，求得內(nèi)切圓的半徑的最大值.

（1）設(shè)橢圓方程為，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，則點(diǎn).

∵

∴

又

解得

∴橢圓方程為

（2）由（1）知，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，

則的周長(zhǎng)為，又（為三角形內(nèi)切圓半徑），

∴當(dāng)的面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓面積最大.

設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，則

消去得，

∴

∴

令，則，∴

令，

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，

∴，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

即當(dāng)時(shí)，的面積最大值為3，

結(jié)合，得的最大值為，

∴內(nèi)切圓面積的最大值為.