【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,存在,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析 (2) .
【解析】
(1)根據(jù)的不同取值,結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì),分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2) 求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸,根據(jù)對(duì)稱軸和所給的區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論,即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)當(dāng)時(shí), ,因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí), ,
在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí), ,
在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減;
(2)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為:.
①當(dāng)時(shí),二次函數(shù)是單調(diào)減函數(shù),因此有:
,
所以一元二次方程在區(qū)間上有兩不等根,則有
;
②當(dāng)時(shí),二次函數(shù)是單調(diào)增函數(shù),因此有:
,所以可以看成一元二次方程兩根,則,有;
③當(dāng)時(shí), ,所以由
函數(shù)的最大值是中的一個(gè)值, .
①若時(shí),有,此時(shí),所以或
(i)若時(shí),
(ii)若,由(舍):
②若時(shí),有,此時(shí),
因此有,
根據(jù)
綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)若時(shí),求與的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若上的點(diǎn)到距離的最大值為,求.
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【題目】已知函數(shù)
(1)證明:在上單調(diào)遞減;
(2)已知在單調(diào)遞增,記函數(shù)的最小值為.
①求的表達(dá)式;
②求的最大值.
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【題目】在平面四邊形中(如圖1),為的中點(diǎn),,,且,,現(xiàn)將此平面四邊形沿折起使二面角為直二面角,得到立體圖形(如圖2),又為平面內(nèi)一點(diǎn),并且為正方形,設(shè),,分別為,,的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:面面;
(Ⅱ)在線段上是否存在一點(diǎn),使得面與面所成二面角的余弦值為?若存在,求線段的長;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】某廠家擬舉行雙十一促銷活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測算,該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)m萬件與年促銷費(fèi)用x萬元()滿足.已知年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).
(1)將該產(chǎn)品的年利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù);
(2)該廠家年促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤最大?
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【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若,對(duì)任意有恒成立,求實(shí)數(shù)取值范圍;
(3)設(shè),若,問是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)在上的最大值為?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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【題目】某商場按月訂購一種家用電暖氣,每銷售一臺(tái)獲利潤200元,未銷售的產(chǎn)品返回廠家,每臺(tái)虧損50元,根據(jù)往年的經(jīng)驗(yàn),每天的需求量與當(dāng)天的最低氣溫有關(guān),如果最低氣溫位于區(qū)間,需求量為100臺(tái);最低氣溫位于區(qū)間,需求量為200臺(tái);最低氣溫位于區(qū)間,需求量為300臺(tái)。公司銷售部為了確定11月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年11月份各天的最低氣溫?cái)?shù)據(jù),得到下面的頻數(shù)分布表:
最低氣溫(℃) | |||||
天數(shù) | 11 | 25 | 36 | 16 | 2 |
以最低氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最低氣溫位于該區(qū)間的概率.
求11月份這種電暖氣每日需求量(單位:臺(tái))的分布列;
若公司銷售部以每日銷售利潤(單位:元)的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),計(jì)劃11月份每日訂購200臺(tái)或250臺(tái),兩者之中選其一,應(yīng)選哪個(gè)?
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【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若,解不等式;
(Ⅱ)若不等式至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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