【題目】在平面四邊形中(如圖1),的中點,,,且,,現(xiàn)將此平面四邊形沿折起使二面角為直二面角,得到立體圖形(如圖2),又為平面內(nèi)一點,并且為正方形,設(shè),分別為,的中點.

(Ⅰ)求證:面;

(Ⅱ)在線段上是否存在一點,使得面與面所成二面角的余弦值為?若存在,求線段的長;若不存在,請說明理由.

【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)存在一點符合題意,線段

【解析】

(Ⅰ)由已知條件得,從而,從而,同理,,由此能證明面;(Ⅱ)根據(jù)題意可建立如圖所示的空間直角坐標系,求出面的一個法向量,設(shè),求出面的法向量為,根據(jù)法向量與二面角之間的關(guān)系即可得結(jié)果.

(Ⅰ)∵點、分別為、、的中點,

、分別為的中位線,∴,

又正方形中,,∴,

,,

,

同理,,

,,∴面.

(Ⅱ)∵二面角為直二面角,又,∴

如圖建系,則有,,,,

,,

設(shè)面的法向量,

,取,得

設(shè),,則,

設(shè)面的法向量為,

,得,

由面與面所成二面角的余弦值為,得,

,解得,

,解得;令,解得(舍去)

∴在線段上存在一點,此時,線段.

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