Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=4y的焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)直線x=2與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),P點(diǎn)位于第一象限,A,B是橢圓上位于直線x=2兩側(cè)的動點(diǎn).

①若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;

②當(dāng)點(diǎn)A,B運(yùn)動時(shí),滿足∠APQ=∠BPQ,問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）① ②

【解析】

(1)根據(jù)拋物線焦點(diǎn)，求得b，再由離心率和橢圓中a、b、c的關(guān)系求得a、c的值，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

(2)設(shè)出A、B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4；由直線x=2與橢圓交于P,Q兩點(diǎn)可求得P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則四邊形APBQ的面積S=S△APQ+S△BPQ，即可得到面積的最大值；設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，化簡得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得到AB斜率的表達(dá)形式，即可得到斜率為定值。

(1)設(shè)橢圓C的方程為=1(a>b>0),由題意可得它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=4y的焦點(diǎn)(0,),∴b=.

再根據(jù)離心率,求得a=2,

∴橢圓C的方程為=1.

(2)①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程為y=x+t,代入橢圓C的方程化簡可得x2+2tx+2t2-4=0,由Δ=4t2-4(2t2-4)>0,求得-2<t<2.

由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4.

在=1中,令x=2求得P(2,1),Q(2,-1),

∴四邊形APBQ的面積S=S△APQ+S△BPQ=·PQ·|x1-x2|=×2×|x1-x2|=|x1-x2|=,

故當(dāng)t=0時(shí),四邊形APBQ的面積S取得最大值為4.

②當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí),PA,PB的斜率之和等于零,設(shè)PA的斜率為k,則PB的斜率為-k,PA的方程為y-1=k(x-2),把它代入橢圓C的方程化簡可得(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-8=0,

∴x2+2=.

同理可得直線PB的方程為y-1=-k(x-2),x2+2=,

∴x1+x2=,x1-x2=.

∴AB的斜率k=

=

=

=.