Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)+f(x2)

2

=C成立（其中C為常數(shù)），則稱函數(shù)y=f（x）在D上的約算術(shù)均值為C，則下列函數(shù)在其定義域上的算術(shù)均值可以為2的函數(shù)是（　�。�

A．y=x²

B．y=4sinx

C．y=lnx

D．y=2^x

Answer 1

分析：本題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₂的方程是否存在唯一解問(wèn)題，先直接根據(jù)選項(xiàng)建立方程f（x₁）+f（x₂）=4，然后判斷是否存在唯一的解，從而得到正確選項(xiàng)．

解答：解：由題意可得，均值為2，則

f(x1)+f(x2)

2

=2即f（x₁）+f（x₂）=4，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₂的方程是否存在唯一解問(wèn)題．
A任意的x₁∈R，關(guān)于x₂的方程x₁²+x₂²=4，當(dāng)x₁＞2時(shí)，一定無(wú)解；
B任意的x₁∈R，關(guān)于x₂的方程4sinx₁+4sinx₂=4，即sinx₁+sinx₂=1，當(dāng)sinx₁＜0時(shí)，一定無(wú)解；
C任意的x₁∈（0，+∞），關(guān)于x₂的方程lnx₁+lnx₂=4，一定有唯一解；
D任意的x₁∈R，關(guān)于x₂的方程2x1+2x2=4，當(dāng)2x1＞4時(shí)，一定無(wú)解．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的新定義，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是要根據(jù)已知定義，把題中的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要求考生具備閱讀轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．