【題目】在四棱錐中,底面是直角梯形, , , ,平面平面.
(Ⅰ)求證: 平面.
(Ⅱ)求平面和平面所成二面角(小于)的大小.
(Ⅲ)在棱上是否存在點(diǎn)使得平面?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)(Ⅲ)為的中點(diǎn),
【解析】試題分析:
(Ⅰ)證明AB⊥平面PBC,利用面面垂直的性質(zhì),根據(jù)AB⊥BC,平面PBC⊥平面ABCD,即可得證;
(Ⅱ)取BC的中點(diǎn)O,連接PO,證明PO⊥平面ABCD,以O為原點(diǎn),OB所在的直線為x軸,在平面ABCD內(nèi)過(guò)O垂直于BC的直線為y軸,OP所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,求出平面PAD的法向量.平面BCP的一個(gè)法向量,
利用向量的夾角公式,即可求得平面ADP和平面BCP所成的二面角;(Ⅲ)在棱PB上存在點(diǎn)M使得CM∥平面PAD,此時(shí),證明平面MNC∥平面PAD,可得∥平面PAD.
試題解析:
(Ⅰ)∵,
∴,
∵面面,面面, 面,
∴面.
(Ⅱ)取的中點(diǎn),連接,
∵,∴,
∵面面,面 , 面,
∴面,以為原點(diǎn), 所在的直線為軸,在平面內(nèi)過(guò)且垂直于的直線為軸, 所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,
不妨設(shè),由,
∴, , .
∴, .
設(shè)平面的法向量為,
∵,
∴,
令,則, .
∴.
取平面的一個(gè)法向量,
∴.
∴面和面的二面角(銳角)的大小為.
(Ⅲ)在棱上存在一點(diǎn)使得面,此時(shí).
理由如下: 為的中點(diǎn),
取的中點(diǎn),連接, , ,
則, ,
∵,
∴,
∵,
∴四邊形是平行四邊形.
∴,
∵, ,
∴面面,
∵面,
∴面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),E是PD的中點(diǎn).
(1)求證:PB∥平面EAC;
(2)若M是CD上異于C、D的點(diǎn).連結(jié)PM交CE于G,連結(jié)BM交AC于H,求證:GH∥PB.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《最強(qiáng)大腦》是大型科學(xué)競(jìng)技類(lèi)真人秀節(jié)目,是專(zhuān)注傳播腦科學(xué)知識(shí)和腦力競(jìng)技的節(jié)目.某機(jī)構(gòu)為了了解大學(xué)生喜歡《最強(qiáng)大腦》是否與性別有關(guān),對(duì)某校的100名大學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
喜歡《最強(qiáng)大腦》 | 不喜歡《最強(qiáng)大腦》 | 合計(jì) | |
男生 | 15 | ||
女生 | 15 | ||
合計(jì) |
已知在這100人中隨機(jī)抽取1人抽到不喜歡《最強(qiáng)大腦》的大學(xué)生的概率為0.4
( I)請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整;判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡《最強(qiáng)大腦》與性別有關(guān),并說(shuō)明理由;
( II)已知在被調(diào)查的大學(xué)生中有5名是大一學(xué)生,其中3名喜歡《最強(qiáng)大腦》,現(xiàn)從這5名大一學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,抽到喜歡《最強(qiáng)大腦》的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
下面的臨界值表僅參考:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 )的圖象與x軸的交點(diǎn)中,相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為 ,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為 . (Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)當(dāng) ,求f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,在區(qū)間(﹣1, )上單調(diào)遞減的函數(shù)為( )
A.y=x2
B.y=3x﹣1
C.y=log2(x+1)
D.y=﹣sinx
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線l1:kx+y=0和直線l2:kx+y+b=0(b>0),射線OC的一個(gè)法向量為 =(﹣k,1),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),且k≥0,直線l1和l2之間的距離為2,點(diǎn)A、B分別是直線l1、l2上的動(dòng)點(diǎn),P(4,2),PM⊥l1于點(diǎn)M,PN⊥OC于點(diǎn)N;
(1)若k=1,求|OM|+|ON|的值;
(2)若| |=8,求 的最大值;
(3)若k=0,AB⊥l2 , 且Q(﹣4,﹣4),試求|PA|+|AB|+|BQ|的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=2x2+bx+c.
(1)對(duì)任意x∈[﹣1,1],f(x)的最大值與最小值之差不大于6,求b的取值范圍;
(2)若f(x)=0有兩個(gè)不同實(shí)根,f(f(x))無(wú)零點(diǎn),求證: ﹣ >1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω>0,0<|φ|<π)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求g(x)=f(3x+ )﹣1在[﹣ , ]上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 已知a1=2,且4S1 , 3S2 , 2S3成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=|2n﹣5|an , 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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