【題目】如圖,已知直線l1:kx+y=0和直線l2:kx+y+b=0(b>0),射線OC的一個(gè)法向量為 =(﹣k,1),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),且k≥0,直線l1和l2之間的距離為2,點(diǎn)A、B分別是直線l1、l2上的動(dòng)點(diǎn),P(4,2),PM⊥l1于點(diǎn)M,PN⊥OC于點(diǎn)N;

(1)若k=1,求|OM|+|ON|的值;
(2)若| |=8,求 的最大值;
(3)若k=0,AB⊥l2 , 且Q(﹣4,﹣4),試求|PA|+|AB|+|BQ|的最小值.

【答案】
(1)解:∵k=1.

∴射線OC的一個(gè)法向量為 =(﹣1,1),

∴射線OC的斜率為1,射線OC的方程為:y=x(x≥0).

∴|PN|= = ,|OP|= =2

∴|ON|= =3

直線l1:x+y=0,|PM|= =3

∴|OM|= =

∴|OM|+|ON|=4


(2)解:k≥0,b>0,直線l1和l2之間的距離為2,

=2,化為:b2=4(k2+1).

設(shè)A(m,﹣km),B(n,﹣kn﹣b).

∵P(4,2),| |=8,

=(m+n﹣8,﹣km﹣kn﹣b﹣4),

則(m+n﹣8)2+(km+kn+b+4)2=64≥2(m﹣4)(n﹣4)+2(km+2)(kn+b+2),

=(m﹣4)(n﹣4)+(﹣km﹣2)(﹣kn﹣b﹣2)

=(m﹣4)(n﹣4)+(km+2)(kn+b+2)≤32,

的最大值為32


(3)解:k=0,直線l1:y=0,直線l2:y+2=0,如圖所示.

作出點(diǎn)P關(guān)于直線y=﹣1的對(duì)稱點(diǎn)M(4,﹣4),則|PA|=|BM|.

設(shè)B(x,﹣2).

∴|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2

= + +2,

同理由對(duì)稱性可得:當(dāng)且僅當(dāng)B取點(diǎn)(0,﹣2)時(shí),

|BM|+|QB|取得最小值2 =4

∴|PA|+|AB|+|BQ|的最小值為4 +2.


【解析】(1)若k=1,則可得|OM|= .|ON|=3 ,進(jìn)而得到|OM|+|ON|的值;(2)若| |=8,利用柯西不等式可得 ≤32;(3)若k=0,AB⊥l2 , 且Q(﹣4,﹣4),|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2,當(dāng)且僅當(dāng)B取點(diǎn)(0,﹣2)時(shí),|BM|+|QB|取得最小值.

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