Question

【題目】如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是棱,

上的點(diǎn)，,

（1） 求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；

（2） 證明平面

（3） 求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）,（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】

方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè),依題意得,

,,

（1） 解：易得,

于是

所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為

（2） 證明：已知,,

于是·=0，·=0.因此，,,又

所以平面

(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即

不妨令X=1,可得．由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量．

于是，從而

所以二面角的正弦值為

方法二：（1）解：設(shè)AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

鏈接B1C,BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是異面直線(xiàn)EF與A1D所成的角，易知BM=CM=,所以,所以異面直線(xiàn)FE與A1D所成角的余弦值為

（2）證明：連接AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N 因?yàn)?/span>，所以，從而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因?yàn)?/span>CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.

連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因?yàn)?/span>，所以AF⊥平面A1ED

(3)解：連接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角

易知，所以，又所以，在

連接A1C1,A1F 在

．所以

所以二面角A1-DE-F正弦值為