【題目】某校高一年級(jí)某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(jī),分組為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖如圖所示:
(1)試估計(jì)這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果精確到0.1);
(2)年級(jí)決定在成績(jī)[70,100]中用分層抽樣抽取6人組成一個(gè)調(diào)研小組,對(duì)高一年級(jí)學(xué)生課外學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況做一個(gè)調(diào)查,則在[70,80),[80,90),[90,100]這三組分別抽取了多少人?
(3)現(xiàn)在要從(2)中抽取的6人中選出正副2個(gè)小組長(zhǎng),求成績(jī)?cè)?/span>[80,90)中至少有1人當(dāng)選為正、副小組長(zhǎng)的概率.
【答案】(1)65,73.3;(2)3,2,1;(3)
【解析】試題分析:(1)由頻率分布直方圖中面積最大的矩形中點(diǎn)可得眾數(shù)、左右面積各為0.5的分界處為中位數(shù).
(2)先求出成績(jī)?yōu)?/span>[70,80)、[80,90)、[90,100]這三組的頻率,由此能求出[70,80)、[80,90)、[90,100]這三組抽取的人數(shù).
(3)由(2)知成績(jī)?cè)?/span>[70,80)有3人,分別記為a,b,c;成績(jī)?cè)?/span>[80,90)有2人,分別記為d,e;成績(jī)?cè)?/span>[90,100]有1人,記為f.由此利用列舉法能求出成績(jī)?cè)?/span>[80,90)中至少有1人當(dāng)選為正、副小組長(zhǎng)的概率.
試題解析:
(1)由頻率分布直方圖得:眾數(shù)為:=65.
成績(jī)?cè)?/span>[50,70)內(nèi)的頻率為:(0.005+0.035)×10=0.4,
成績(jī)?cè)?/span>[70,80)內(nèi)的頻率為:0.03×10=0.3,
∴中位數(shù)為:70+×10≈73.3.
(2)成績(jī)?yōu)?/span>[70,80)、[80,90)、[90,100]這三組的頻率分別為0.3,0.2,0.1,
∴[70,80)、[80,90)、[90,100]這三組抽取的人數(shù)分別為3人,2人,1人.
(3)由(2)知成績(jī)?cè)?/span>[70,80)有3人,分別記為a,b,c;
成績(jī)?cè)?/span>[80,90)有2人,分別記為d,e;成績(jī)?cè)?/span>[90,100]有1人,記為f.
∴從(2)中抽取的6人中選出正副2個(gè)小組長(zhǎng)包含的基本事件有種,分別為:
ab,ba,ac,ca,ad,da,ae,ea,af,fa,bc,cb,bd,db,be,eb,bf,fb,cd,dc,ce,ec,cf,fc,de,ed,df,fd,ef,fe,
記“成績(jī)?cè)?/span>[80,90)中至少有1人當(dāng)選為正、副小組長(zhǎng)”為事件Q,
則事件Q包含的基本事件有18種,
∴成績(jī)?cè)?/span>[80,90)中至少有1人當(dāng)選為正、副小組長(zhǎng)的概率P(Q)=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)求證: 對(duì)任意實(shí)數(shù),函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象最多只有一個(gè)交點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn),將沿對(duì)角線折起,使得平面平面(如圖),則下列命題中正確的是( )
A. 直線直線,且直線直線
B. 直線平面,且直線平面
C. 平面平面,且平面平面
D. 平面平面,且平面平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過(guò)程中,武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐.已知只有5發(fā)子彈,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射擊是相互獨(dú)立的,且命中的概率都是 .
(1)求油罐被引爆的概率;
(2)如果引爆或子彈打光則停止射擊,設(shè)射擊次數(shù)為ξ.求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ).( 結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,直線y= x為曲線y=f(x)的切線(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)g(x)=min{f(x),x﹣ }(x>0),若函數(shù)h(x)=g(x)﹣cx2為增函數(shù),求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,BA⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2,PA=3,PA⊥底面ABCD,E是棱PD上異于P,D的動(dòng)點(diǎn).設(shè) =m,則“0<m<2”是三棱錐C﹣ABE的體積不小于1的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a>0且a≠1,若函數(shù)f(x)=loga[ax2﹣(2﹣a)x+3]在[ ,2]上是增函數(shù),則a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知半徑分別為 R 、r 的兩個(gè)圓外切于點(diǎn) P , 點(diǎn) P 到這兩圓的一條外公切線的距離等于d .求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知空間中三點(diǎn)A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)=,=.
(1)求與的夾角的余弦值; (2)若與k-2互相垂直,求實(shí)數(shù)k的值.
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