Question

【題目】已知橢圓的離心率為,原點(diǎn)到橢圓的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)連線的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）斜率存在且不為零的直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),若線段的垂直平分線的縱截距為-1,求直線縱截距的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由離心率為，可以得到的關(guān)系，由原點(diǎn)到橢圓的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)連線的距離為，可以得到的關(guān)系，結(jié)合，求出，寫(xiě)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)出斜率存在且不為零的直線的直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，由根的判斷式大于零，得到一個(gè)不等式，設(shè)中點(diǎn)，利用根與系數(shù)關(guān)系可以求出坐標(biāo)，結(jié)合已知，通過(guò)斜率公式，可以得到，結(jié)合求出的不等式，可以求出直線縱截距的取值范圍.

解：（1）原點(diǎn)到橢圓上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)連線的距離為.

又離心率，又因?yàn)?/span>，

解得，，所以橢圓方程為．

（2）設(shè)，直線的方程為：，

將代入得：

，

于是得：

且，

設(shè)中點(diǎn)，則，

因?yàn)榫�段的垂直平分線的縱截距為，所以線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，

所以，即，

因?yàn)?/span>，所以， 所以，

代入得，

所以.