Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁.
(1)求證:平面A₁BD∥平面B₁D₁C;
(2)若E、F分別是AA₁、CC₁的中點(diǎn),求證:平面EB₁D₁∥平面FBD.

Answer 1

  證明:(1)由B₁B∥DD₁,且B₁B=DD₁,得B₁D₁∥BD.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823130102708199.gif" style="vertical-align:middle;" />平面B₁D₁C,
而平面B₁D₁C,
所以BD∥平面B₁D₁C.
同理A₁D∥平面B₁D₁C.
又A₁D∩BD=D,所以平面A₁BD∥平面B₁D₁C.
(2)由BD∥B₁D₁,得BD∥平面EB₁D₁.
取BB₁中點(diǎn)G,連結(jié)AG、GF,

則AE∥B₁G且AE=B₁G,
所以B₁E∥AG.
由GF∥BC且GF=BC,BC∥AD,
得GF∥AD且GF=AD,
所以AG∥DF且AG=DF.
所以B₁E∥DF.
所以DF∥平面EB₁D₁.
所以平面EB₁D₁∥平面FBD.

空間直線和平面