【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，點為坐標原點，若橢圓與曲線的交點分別為（下上），且兩點滿足．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓上異于其頂點的任一點，作的兩條切線，切點分別為，且直線在軸、軸上的截距分別為，證明：為定值．

【答案】（1）；（2）見解析．

【解析】試題分析：（1）設，然后根據(jù)向量數(shù)量積求得的值，再結合離心率求得的值，由此求得橢圓方程；（2）．設點，然后根據(jù)條件求得的方程，從而求得直線在軸、軸上的截距為，進而使問題得證．

試題解析：（1）設橢圓的半焦距為，設，則，

由，得，∴，①

又橢圓的離心率為，所以，②

又，③

由①②③，解得，

故橢圓的標準方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分

（2）如圖，設點，由是的切點知，，

所以四點在同一圓上，且圓的直徑為，

則圓心為，其方程為，

即，④

即點滿足話中④，又點都在上，

所以坐標也滿足方程，⑤

⑤-④得直線的方程為，

令，得；令，得，所以，

又點在橢圓上，所以，即中，

即，即為定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新式藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產(chǎn)品，已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為200元．

（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使該單位不虧損？

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【題目】已知命題拋物線的焦點在橢圓上.命題直線經(jīng)過拋物線的焦點，且直線過橢圓的左焦點，是真命題.

（I）求直線的方程；

（II）直線與拋物線相交于、，直線、，分別切拋物線于，求的交點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（其中）

(Ⅰ) 若在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，求的取值范圍；

(Ⅱ) 是否存在實數(shù)，使得當時，不等式恒成立，如果存在，求的取值范圍，如果不存在，說明理由（其中是自然對數(shù)的底數(shù)，＝2.71828…）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2009年推出一種新型家用轎車，購買時費用為萬元，每年應交付保險費、養(yǎng)路費及汽油費共萬元，汽車的維修費為：第一年無維修費用，第二年為萬元，從第三年起，每年的維修費均比上一年增加萬元.

（1）設該輛轎車使用年的總費用（包括購買費用、保險費、養(yǎng)路費、汽油費及維修費）為，求的表達式；

（2）這種汽車使用多少年報廢最合算（即該車使用多少年，年平均費用最少）？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，其中.

（1）若是函數(shù)的極值點，求的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若在上的最大值是0，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，， ，，為的中點．

（1）求異面直線，所成角的余弦值；

（2）點在線段上，且，若直線與平面所成角的正弦值為，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為實數(shù)）．

（1）當時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；

（2）設函數(shù)（其中為常數(shù)），若函數(shù)在區(qū)間上不存在極值，且存在滿足，求的取值范圍；

（3）已知，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線的方程為：（，為常數(shù)）

（Ⅰ）判斷曲線的形狀；

（Ⅱ）設直線與曲線交于不同的兩點、，且，求曲線的方程.

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