Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）若為棱的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值；

（3）若二面角大小為，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）．

【解析】

試題（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，又因?yàn)?/span>，所以平面，而平面，所以面面垂直；

（2）根據(jù)圖像以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別為軸，將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為;

（3）根據(jù)點(diǎn)C，M，P三點(diǎn)共線，設(shè)的坐標(biāo)，然后求兩個(gè)平面的法向量，解得，最后代入模的公式．

試題解析：（1）證明：∵ADBC，，Q為AD的中點(diǎn)，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形， ∴CDBQ．

∵∠ADC， ∴∠AQB，即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB， ∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）解：∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如圖2，以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴，

∴．

設(shè)異面直線AP與BM所成角為，

則=

∴異面直線AP與BM所成角的余弦值為．

（3）解：由（Ⅱ）知平面BQC的法向量為，

由C、M、P三點(diǎn)共線得，且， 從而有，

又，設(shè)平面MBQ法向量為，

由可取．

∵二面角MBQC為30°，∴，∴，∴．