【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面,為等邊三角形,,是的中點(diǎn).
(1)證明:;
(2)若,求二面角平面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接、,證明平面,從而得出;
(2)證明出平面,可得出、、兩兩垂直,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,然后計(jì)算出平面、的法向量,利用空間向量法求出二面角平面角的余弦值.
(1)證明:取中點(diǎn),聯(lián)結(jié)、,
為等邊三角形,為的中點(diǎn),.
是的中點(diǎn),為中點(diǎn),,,.
,平面,
平面,;
(2)由(1)知,,
平面平面,平面平面,平面,
平面,則、、兩兩垂直,
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則、、、、.
設(shè)平面的法向量為,,.
由,得,令,得,,
所以,平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面的法向量為,,
由,得,取,得,.
所以,平面的一個(gè)法向量為.
則.
結(jié)合圖形可知,二面角的平面角為銳角,其余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,左、右頂點(diǎn)分別為,經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)(不與點(diǎn)重合).
(Ⅰ)當(dāng),且直線 軸時(shí), 求四邊形的面積;
(Ⅱ)設(shè),直線與直線相交于點(diǎn),求證:三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C,有如下四個(gè)結(jié)論
①AC⊥BD;
②△ACD是等邊三角形;
③AB與平面BCD成60°的角;
④AB與CD所成的角是60°.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若只有一個(gè)零點(diǎn),且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方體中,點(diǎn)E是棱的中點(diǎn),點(diǎn)F是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).有以下三個(gè)命題:
①異面直線與所成的角是定值;
②三棱錐的體積是定值;
③直線與平面所成的角是定值.
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有下列四個(gè)命題:①“若,則,互為倒數(shù)”的逆命題;②“面積相等的三角形全等”的否命題;③“若,則有實(shí)數(shù)解”的逆否命題;④“若,則”的逆否命題.其中真命題為________(填寫(xiě)所有真命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某家具廠有方木料90,五合板600,準(zhǔn)備加工成書(shū)桌和書(shū)櫥出售.已知生產(chǎn)第張書(shū)桌需要方木料O.l,五合板2,生產(chǎn)每個(gè)書(shū)櫥而要方木料0.2,五合板1,出售一張方桌可獲利潤(rùn)80元,出售一個(gè)書(shū)櫥可獲利潤(rùn)120元.
(1)如果只安排生產(chǎn)書(shū)桌,可獲利潤(rùn)多少?
(2)怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面 ABCD為矩形,側(cè)面為正三角形,且平面平面 E 為 PD 中點(diǎn),AD=2.
(1)證明平面AEC丄平面PCD;
(2)若二面角的平面角滿足,求四棱錐 的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
(2)若的圖像與軸圍成直角三角形,求的值.
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