（本題滿分14分）如圖，已知平面平面，與分別是棱長(zhǎng)為1與2的正三角形，//，四邊形為直角梯形，//，，點(diǎn)為的重心，為中點(diǎn)，，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：//平面

（Ⅱ）若直線與所成角為，試求二面角的余弦值.

 

【答案】

（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）二面角的余弦值.

【解析】（1）只須證：連接AG并延長(zhǎng)交CE于P點(diǎn)，連接PB，PD，易證NPDF為平行四邊形，然后根據(jù)平行線分分段成比例關(guān)系證DM//PF即可.

(2) 由于本小題建系比較容易，所以易采用空間向量法求二面角即可.先求出二面角兩個(gè)面的法向量，然后根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)進(jìn)行計(jì)算.

（Ⅰ）連延長(zhǎng)交于，

因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以

又，所以，所以//；

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414154272349196/SYS201208241416142585963470_DA.files/image014.png">//，//，所以平面//平面，

又與分別是棱長(zhǎng)為1與2的正三角形，

為中點(diǎn)，為中點(diǎn), //,又//，

所以//，得四點(diǎn)共面

//平面

（Ⅱ）平面平面，易得平面平面，

以為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，

，

，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414154272349196/SYS201208241416142585963470_DA.files/image037.png">與所成角為，所以，

得，，，

設(shè)平面的法向量，則，取，

面的法向量，

所以二面角的余弦值.

 

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   （2）當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時(shí)，求證：CF//平面AEB1；

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