【題目】如圖,在直四棱柱中,,:
(1)求證:平面;
(2)現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱,規(guī)定:若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案,問共有幾種不同的拼接方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為,寫出的解析式;(直接寫出答案,不必說明理由)
【答案】(1)詳見解析:(2)4種不同的拼接方案,f(k)
【解析】
(1)取DC的中點E,連接BE,可證明四邊形ABED是平行四邊形,再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD,即CD⊥AD,又側棱AA1⊥底面ABCD,可得AA1⊥DC,利用線面垂直的判定定理即可證明.
(2)由題意可與左右平面ADD1A1,BCC1B1,上或下面ABCD,A1B1C1D1拼接得到方案,新四棱柱共有此4種不同方案.通過比較即可得出f(k).
(1)證明:取DC的中點E,連接BE,∵AB∥ED,AB=ED=3k,
∴四邊形ABED是平行四邊形,
∴BE∥AD,且BE=AD=4k,∴BE2+EC2=(4k)2+(3k)2=(5k)2=BC2,∴∠BEC=90°,∴BE⊥CD,
又∵BE∥AD,∴CD⊥AD.
∵側棱AA1⊥底面ABCD,∴AA1⊥CD,
∵AA1∩AD=A,∴CD⊥平面ADD1A1.
(2)由題意可與左右平面ADD1A1,BCC1B1,上或下面ABCD,A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案.
通過比較即可得出f(k).
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【題目】如圖,在三棱錐中,已知,,平面平面,點分別是的中點,,連接.
(1)若,并異面直線與所成角的余弦值的大;
(2)若二面角的余弦值的大小為,求的長.
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【題目】已知點P(2,2),圓,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點.
(1)求點M的軌跡方程;
(2)當|OP|=|OM|時,求l的方程及△POM的面積.
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【題目】已知橢圓的離心率為,若橢圓上的點與兩個焦點構成的三角形中,面積最大為1.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設直線與橢圓的交于兩點,為坐標原點,且,證明:直線與圓相切.
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【題目】已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,D(0,2)為橢圓C短軸的一個端點,F為橢圓C的右焦點,線段DF的延長線與橢圓C相交于點E,且|DF|=3|EF|.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設直線l與橢圓C相交于A,B兩點,O為坐標原點,若直線OA與OB的斜率之積為-,求的取值范圍.
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【題目】在棱長為2的正方體中,點是正方體棱上一點,.
①若,則滿足條件的點的個數(shù)為______;
②若滿足的點的個數(shù)為6,則的取值范圍是______.
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【題目】某射手每次射擊擊中目標的概率是,且各次射擊的結果互不影響.
(Ⅰ)假設這名射手射擊次,求有次連續(xù)擊中目標,另外次未擊中目標的概率;
(Ⅱ)假設這名射手射擊次,記隨機變量為射手擊中目標的次數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】2019年的天貓“雙11”交易金額又創(chuàng)新高,達到2684億元,物流爆增.某機構為了了解網購者對收到快遞的滿意度進行調查,對某市5000名網購者發(fā)出滿意度調查評分表,收集并隨機抽取了200名網購者的調查評分(評分在70~100分之間),其頻率分布直方圖如圖,評分在95分及以上確定為“非常滿意”.
(1)求的值;
(2)以樣本的頻率作概率,試估計本次調查的網購者中“非常滿意”的人數(shù);
(3)按分層抽樣的方法,從評分在90分及以上的網購者中抽取6人,再從這6人中隨機地選取2人,求至少選到一個“非常滿意”的概率.
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