【題目】已知點(diǎn)P(2,2),圓,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線(xiàn)l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求l的方程及△POM的面積.
【答案】(1) ;(2)直線(xiàn)的方程為,的面積為.
【解析】
求得圓的圓心和半徑.
(1)當(dāng)三點(diǎn)均不重合時(shí),根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知,是定點(diǎn),所以的軌跡是以為直徑的圓(除兩點(diǎn)),根據(jù)圓的圓心和半徑求得的軌跡方程.當(dāng)三點(diǎn)有重合的情形時(shí),的坐標(biāo)滿(mǎn)足上述求得的的軌跡方程.綜上可得的軌跡方程.
(2)根據(jù)圓的幾何性質(zhì)(垂徑定理),求得直線(xiàn)的斜率,進(jìn)而求得直線(xiàn)的方程.根據(jù)等腰三角形的幾何性質(zhì)求得的面積.
圓,故圓心為,半徑為.
(1)當(dāng)C,M,P三點(diǎn)均不重合時(shí),∠CMP=90°,所以點(diǎn)M的軌跡是以線(xiàn)段PC為直徑的圓(除去點(diǎn)P,C),線(xiàn)段中點(diǎn)為,,故的軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠0,且y≠4).
當(dāng)C,M,P三點(diǎn)中有重合的情形時(shí),易求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)或(0,4).
綜上可知,點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓,軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)可知點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心,為半徑的圓.
由于|OP|=|OM|,故O在線(xiàn)段PM的垂直平分線(xiàn)上.又P在圓N上,從而ON⊥PM.因?yàn)?/span>ON的斜率為3,所以的斜率為,故的方程為,即.
又易得|OM|=|OP|=,點(diǎn)O到的距離為,,
所以△POM的面積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(ax2-2x)ex,其中a≥0.
(1)當(dāng)a=時(shí),求f(x)的極值點(diǎn);
(2)若f(x)在[-1,1]上為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖,已知四棱錐的底面為菱形,且, .
(I)求證:平面 平面;
(II)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】檳榔原產(chǎn)于馬來(lái)西亞,中國(guó)主要分布在云南、海南及臺(tái)灣等熱帶地區(qū),在亞洲熱帶地區(qū)廣泛栽培.檳榔是重要的中藥材,在南方一些少數(shù)民族還有將果實(shí)作為一種咀嚼嗜好品,但其被世界衛(wèi)生組織國(guó)際癌癥研究機(jī)構(gòu)列為致癌物清單Ⅰ類(lèi)致癌物.云南某民族中學(xué)為了解,兩個(gè)少數(shù)民族班學(xué)生咀嚼檳榔的情況,分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,將他們平均每周咀嚼檳榔的顆數(shù)作為樣本繪制成莖葉圖如圖所示(圖中的莖表示十位數(shù)字,葉表示個(gè)位數(shù)字).
(1)從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過(guò)19的數(shù)據(jù)記為,從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過(guò)21的數(shù)據(jù)記為,求的概率;
(2)從所有咀嚼檳榔顆數(shù)在20顆以上(包含20顆)的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人,求被抽到班同學(xué)人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求f(x)的最小值;
(2)若關(guān)于x的不等式在(1,+∞)上恒成立,求整數(shù)k的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的短軸端點(diǎn)為,,點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),且不與,重合,點(diǎn)滿(mǎn)足,.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(Ⅱ)求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠有甲,乙兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,甲車(chē)間有工人人,乙車(chē)間有工人人,為比較兩個(gè)車(chē)間工人的生產(chǎn)效率,采用分層抽樣的方法抽取工人,甲車(chē)間抽取的工人記作第一組,乙車(chē)間抽取的工人記作第二組,并對(duì)他們中每位工人生產(chǎn)完成的一件產(chǎn)品的事件(單位:)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),按照進(jìn)行分組,得到下列統(tǒng)計(jì)圖.
分別估算兩個(gè)車(chē)間工人中,生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間少于的人數(shù);
分別估計(jì)兩個(gè)車(chē)間工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間的平均值,并推測(cè)車(chē)哪個(gè)車(chē)間工人的生產(chǎn)效率更高?
從第一組生產(chǎn)時(shí)間少于的工人中隨機(jī)抽取人,求抽取人中,至少人生產(chǎn)時(shí)間少于的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱中,,:
(1)求證:平面;
(2)現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱,規(guī)定:若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案,問(wèn)共有幾種不同的拼接方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為,寫(xiě)出的解析式;(直接寫(xiě)出答案,不必說(shuō)明理由)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓,A為圓O1上任意一點(diǎn),點(diǎn)D在線(xiàn)段上.,已知,.
(1)求點(diǎn)D的軌跡方程H;
(2)若直線(xiàn)與方程H所表示的圖像交于E,F兩點(diǎn),是橢圓上任意一點(diǎn).若OG平分弦EF,且,,試判斷四邊形OEGF形狀并證明.
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