Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，M，N分別是，的中點，且.

（1）求的長度；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先由題意得到，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，用向量的方法，即可求出結(jié)果；

（2）由（1）的結(jié)果，用向量的方法求出平面的一個法向量，以及平面的一個法向量，由向量夾角公式，求出兩法向量的夾角余弦值，即可得出結(jié)果.

（1）在中，，，

則，所以.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，，，

所以，.

因為，

所以，

解得，即的長為.

（2）由（1）知，，

由N是的中點，得.

所以，.

設(shè)平面的法向量，

由，，

得取.

又，，

設(shè)平面的法向量，

由，，

得取.

設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為，

則.

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.