Question

【題目】如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，將△ABD沿BD折到△A′BD的位置，使平面A′BD⊥平面CBD．

（Ⅰ）求證：CD⊥A′B；
（Ⅱ）試在線段A′C上確定一點(diǎn)P，使得二面角P﹣BD﹣C的大小為45°．

Answer 1

【答案】證明：（I）證法一：在△ABC中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2ABADcosA=4+4+8cosC，
在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BCCDcosC=16+4﹣16cosC
由上述兩式可知，
∴BD⊥CD
又∵面A'BD⊥面CBD，面A'BD∩面CBD=BD，
∴CD⊥面A'BD
∵A'B面A'BD，∴A'B⊥CD．
（II）解：
法一：存在．P為A'C上靠近A'的三等分點(diǎn)．
取BD的中點(diǎn)O，連接A′O，∵A'B=A'D∴A'O⊥BD
又∵平面A′BD⊥平面CBD，∴A'O⊥平面CBD，
∴平面A'OC⊥平面BCD，
過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥OC于Q，則PQ⊥平面BCD，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BD于H，連接PH．
則QH是PH在平面BDC的射影，故PH⊥BD，
所以，∠PHQ為二面角P﹣BD﹣C的平面角，
P為A'C上靠近A'的三等分點(diǎn)，
∴ ， ，∴ ，∴∠PHD=45°．
∴二面角P﹣BD﹣C的大小為45°．
證明：（Ⅰ）證法一：在等腰梯形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，則AE∥DF，∴EF=AD=2，
又∵在等腰梯形ABCD中，Rt△ABE≌Rt△DCF且BC=4∴BE=FC=1∴ D
在△BCD中， ，
∴BD2+CD2=BC2 ， ∴CD⊥BD，
又∵平面A'BD⊥平面CBD，
面A'BD∩面CBD=BD∴CD⊥平面A'BD∴CD⊥A'B．
（Ⅱ）解法二：由（Ⅰ）知CD⊥BD，CD⊥平面A′BD．
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．

則D（0，0，0）， ，C（0，2，0），
取BD的中點(diǎn)O，連接A'O，∵A'B=A'D∴A'O⊥BD
在等腰△A'BD中 可求得A'O=1∴
所以 ，
設(shè) ，則
設(shè) 是平面PBD的法向量，則 ，
即 可取
易知：平面CBD的一個(gè)法向量為
由已知二面角P﹣BD﹣C的大小為45°．
∴ ，
解得： 或λ=﹣1（舍）
∴點(diǎn)P在線段A'C靠近A'的三等分點(diǎn)處．
【解析】（I）法一：由余弦定理推導(dǎo)出BD⊥CD，從而CD⊥面A'BD，由此能證明A'B⊥CD．
法二：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，則AE∥DF，推導(dǎo)出CD⊥BD，從而CD⊥平面A'BD，由此能證明CD⊥A'B．（II）法一：取BD的中點(diǎn)O，連接A′O，推導(dǎo)出平面A'OC⊥平面BCD，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥OC于Q，則PQ⊥平面BCD，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BD于H，連接PH，推導(dǎo)出PH⊥BD，從而∠PHQ為二面角P﹣BD﹣C的平面角，由此能求出P為A'C上靠近A'的三等分點(diǎn)，二面角P﹣BD﹣C的大小為45°．
法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法能求出點(diǎn)P在線段A'C靠近A'的三等分點(diǎn)處．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．