Question

已知數(shù)列具有性質：①為整數(shù)；②對于任意的正整數(shù)，當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，.
（1）若為偶數(shù)，且成等差數(shù)列，求的值；
（2）設(且N)，數(shù)列的前項和為，求證：；
（3）若為正整數(shù)，求證：當(N)時，都有.

Answer 1

(1) 0或2；（2）證明見試題解析；（3）證明見試題解析．

解析試題分析：（1）根據(jù)數(shù)列具有性質，為偶數(shù)，要，這時要求，必須討論的奇偶性，分類討論；（2）要證不等式，最好能求出，那么也就要求出數(shù)列的各項，那么我們根據(jù)數(shù)列定義，由為奇數(shù)，則為奇數(shù)，為偶數(shù)，接下來各項都是偶數(shù)，一起到某項為1，下面一項為0，以后全部為0．實際上項為1的項是第項（成等比數(shù)列），故可求；（3）由于是正整數(shù)，要證明從某一項開始，數(shù)列各項均為0，這提示我們可首先證明為非負（這可用數(shù)學歸納法加以證明），然后由于數(shù)列的關系，可見數(shù)列在出現(xiàn)0之前，是遞減的，下面要考慮的是遞減的速度而已．當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，因此對所有正整數(shù)，都有，依此類推有，只要，則有．
試題解析：（1）∵為偶數(shù)，∴可設，故，
若為偶數(shù)，則，由成等差數(shù)列，可知，
即，解得，故；   （2分）
若為奇數(shù)，則，由成等差數(shù)列，可知，
即，解得，故；
∴的值為0或2．     （4分）
（2）∵是奇數(shù)，∴，
，，依此類推，
可知成等比數(shù)列，且有，
又，，，
∴當時，；當時，都有．       （3分）
故對于給定的，的最大值為

，所以． （6分）
（3）當為正整數(shù)時，必為非負整數(shù)．證明如下：
當時，由已知為正整數(shù)， 可知為非負整數(shù)，故結論成立；
假設當時，為非負整數(shù)，若