Question

已知函數(shù)f(x)＝(x－1)²，g(x)＝4(x－1)，數(shù)列{a_n}是各項均不為0的等差數(shù)列，其前n項和為S_n，點(a_n＋1，S_2n－1)在函數(shù)f(x)的圖象上；數(shù)列{b_n}滿足b₁＝2，b_n≠1，且(b_n－b_n＋1)·g(b_n)＝f(b_n)(n∈N_＋)．
(1)求a_n并證明數(shù)列{b_n－1}是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列{c_n}滿足c_n＝，證明：c₁＋c₂＋c₃＋…＋c_n<3.

Answer 1

見解析

(1)因為點(a_n＋1，S_2n－1)在函數(shù)f(x)的圖象上，所以＝S_2n－1.
令n＝1，n＝2，得即解得a₁＝1，d＝2(d＝－1舍去)，則a_n＝2n－1.
由(b_n－b_n＋1)·g(b_n)＝f(b_n)，
得4(b_n－b_n＋1)(b_n－1)＝(b_n－1)².
由題意b_n≠1，所以4(b_n－b_n＋1)＝b_n－1，
即3(b_n－1)＝4(b_n＋1－1)，所以
所以數(shù)列{b_n－1}是以1為首項，公比為的等比數(shù)列．
(2)由(1)，得b_n－1＝^n－1.c_n＝.
令T_n＝c₁＋c₂＋c₃＋…＋c_n，
則T_n＝＋＋＋…＋＋，①
T_n＝＋＋＋…＋＋，②
①－②得，T_n＝＋＋＋＋…＋－＝1＋·－＝2－－＝2－.所以T_n＝3－.
所以c₁＋c₂＋c₃＋…＋c_n＝3－<3.