【題目】如圖平面PAC⊥平面ABC, ACBC,PE// BC,M,N分別是AEAP的中點,且△PAC是邊長為2的等邊三角形,BC=3,PE =2.

1)求證:MN⊥平面PAC;

2)求平面PAE與平面ABC夾角的余弦值.

【答案】1)證明見解析;(2.

【解析】

1)由三角形中位線可得,由面面垂直性質(zhì)定理可得平面,進(jìn)而可得結(jié)果;

2)取AC的中點F,連接PF,取AB的中點G,連接GF,以F為坐標(biāo)原點,FCx軸,FGy軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面PAE與平面ABC的法向量,求出法向量的夾角即可得出結(jié)果.

1)證明: 分別是的中點,

的一條中位線,,

平面平面,交線為AC,且

平面,又平面

2)取AC的中點F,連接PF

為的等邊三角形,

又平面平面,交線為AC

平面

AB的中點G,連接GF

易知,又平面平面ABC

平面

故以F為坐標(biāo)原點,FCx軸,FGy軸建立空間直角坐標(biāo)系

,A(-1,0,0),E(02,),,

設(shè)=(xy,z)為平面PAE的一個法向量

,

,則x=-3,y=0, 所以

平面知,為平面ABC的一個法向量

設(shè)平面PAE與平面ABC的夾角為

即平面PAE與平面夾角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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