Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，且過點(diǎn)（

2

，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點(diǎn)C（-1，0）且斜率為k的直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，試問在x軸上是否存在點(diǎn)M，使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是與k無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率為

6

3

，且過點(diǎn)（

2

，1），求得橢圓的幾何量，即可求橢圓的方程；
（2II）假設(shè)存在點(diǎn)M符合題意，設(shè)AB為y=k（x+1），代入橢圓方程可得關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），由利用韋達(dá)定理，及

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是與k無關(guān)的常數(shù)，建立方程組，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）∵橢圓離心率為

6

3

，∴

c

a

=

6

3

，∴

b2

a2

=

1

3

．…（1分）
∵橢圓過點(diǎn)（

2

，1），代入橢圓方程，得

2

a2

+

1

b2

=1．…（2分）
∴a2=5，b2=

5

3

．…（4分）
∴橢圓方程為

x2

5

+

y2

5 3

=1，即x²+3y²=5．…（5分）
（2）在x軸上存在點(diǎn)M（

1

6

，0），使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是與k無關(guān)的常數(shù)．…（6分）
證明：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M（m，0），使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是與k無關(guān)的常數(shù)，
∵直線L過點(diǎn)C（-1，0）且斜率為k，∴L方程為y=k（x+1），
代入方程E：x²+3y²=5，得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），則x₁+x₂=-

6k2

3k2+1

，x₁x₂=

3k2-5

3k2+1

 …（8分）
∵

MA

=（x₁-m，y₁），

MB

=（x₂-m，y₂），
∴

MA

•

MB

+

5

3k2+1

=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²+

5

3k2+1

=

-k2+6mk2+3m2k2+m2

3k2+1

…（10分）
設(shè)常數(shù)為t，則

-k2+6mk2+3m2k2+m2

3k2+1

=t．…（11分）
整理得（3m²+6m-1-3t）k²+m²-t=0對(duì)任意的k恒成立，
∴

3m2+6m-1-3t=0 m2-t=0

，解得m=

1

6

，…（13分）
即在x軸上存在點(diǎn)M（

1

6

，0），使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是與k無關(guān)的常數(shù)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，也考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查了一定的計(jì)算能力．