【題目】如圖，已知多面體中，、均為正三角形，平面平面，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，求該多面體的體積.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

試題（1）通過解三角形以及勾股定理得. 取的中點(diǎn)，則再由面面垂直性質(zhì)定理得平面，即得，取的中點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得，即，最后根據(jù)線面垂直判定定理得平面；（2）通過割補(bǔ)法將多面體轉(zhuǎn)化為一個(gè)三棱柱，再由面面垂直性質(zhì)定理得平面，利用補(bǔ)形法得一個(gè)四棱柱體積的一半，最后代入柱體體積公式求體積.

試題解析：解：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以，為正三角形，所以.

設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，

在中，由余弦定理，得

，

所以，所以.

取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為正三角形，所以，

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面.

取的中點(diǎn)，連接，，則，且，所以四邊形為平行四邊形，

所以，所以平面，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

（Ⅱ）過作直線，延長與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以.

同理，所以.

又，所以，所以，所以多面體為三棱柱.

過作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面，

所以線段的長即三棱柱的高，在中，，

所以三棱柱的體積為.

因?yàn)槿忮F與的體積相等，所以所求多面體的體積為.

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