Question

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，而當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，g（x）=-x²+4x+c（c為常數(shù)）．
（1）求f（x）的表達(dá)式
（2）對(duì)于任意x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂，求證：|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則f（x+1）=g（1-x）即f（x）=g（2-x），從而可求出-1≤x≤0時(shí)函數(shù)f（x）的解析式，最后根據(jù)奇偶性求出函數(shù)在0＜x≤1上的解析式，從而可得f（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂時(shí)，0＜x₁+x₂＜2，代入解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）∵g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
∴f（x+1）=g（1-x）
∴f（x）=g（2-x）
當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，2≤2-x≤3，
∵當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，g（x）=-x²+4x+c（c為常數(shù)）．
∴f（x）=-（2-x）²+4（2-x）+c=-x²+c+4
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，-1≤-x＜0，∴f（-x）=-x²+c+4
由于f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）=x²-c-4
∴f(x)=

-x2+c+4，(-1≤x≤0) x2-c-4，(0＜x≤1)

（2）當(dāng)x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂時(shí)，0＜x₁+x₂＜2，
∴|f（x₂）-f（x₁）|=|

x

2 2

-

x

2 1

|=|（x₂-x₁）（x₂+x₁）|＜2|x₂-x₁|
∴|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的解析式，同時(shí)考查了不等式的證明，解題的關(guān)鍵是正確利用函數(shù)的對(duì)稱性．