【題目】已知橢圓C:1(a>b>0),橢圓上的點到焦點的最小距離為且過點P(,1).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若過點M(3,0)的直線l與橢圓C有兩個不同的交點P和Q,若點P關(guān)于x軸的對稱點為P',判斷直線P'Q是否經(jīng)過定點,如果經(jīng)過,求出該定點坐標;如果不經(jīng)過,說明理由.
【答案】(1).(2)直線P'Q過x軸上定點.
【解析】
(1)利用已知條件列出方程組,求出a,b即可得到橢圓方程.
(2)分析當斜率為時可知定點若存在則必在x軸上,設(shè)定點坐標,再設(shè)直線方程與P、Q坐標,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達定理,結(jié)合三點共線則任意兩點的斜率相等列式,進而求出定點坐標即可.
解:(1)由題意,解得,
故橢圓C的方程為.
(2)顯然直線的斜率存在,且當斜率為0時, 直線P'Q為x軸.
故定點若存在則必在x軸上,設(shè)定點為.
故設(shè),.
將直線與橢圓的方程聯(lián)立得:,
消去,整理得.
由根與系數(shù)之間的關(guān)系可得:,.
∵點P關(guān)于y軸的對稱點為P',則P'(x1,﹣y1),且三點共線
∴,即.
即,
整理對,代入韋達定理有,即恒成立.解得.
∴直線P'Q過x軸上定點.
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【題目】已知拋物線:(),圓:(),拋物線上的點到其準線的距離的最小值為.
(1)求拋物線的方程及其準線方程;
(2)如圖,點是拋物線在第一象限內(nèi)一點,過點P作圓的兩條切線分別交拋物線于點A,B(A,B異于點P),問是否存在圓使AB恰為其切線?若存在,求出r的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù),是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)m的值;
(2)畫出函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象求解下列問題;
①寫出函數(shù)的值域;
②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】作家馬伯庸小說《長安十二時辰》中,靖安司通過長安城內(nèi)的望樓傳遞信息.同名改編電視劇中,望樓傳遞信息的方式有一種如下:如圖所示,在九宮格中,每個小方格可以在白色和紫色(此處以陰影代表紫色)之間變換,從而一共可以有512種不同的顏色組合,即代表512種不同的信息.現(xiàn)要求每一行,每一列上至多有一個紫色小方格(如圖所示即滿足要求).則一共可以傳遞______種信息.(用數(shù)字作答)
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=λn2﹣16n+m.
(1)當λ=2時,求通項公式an;
(2)設(shè){an}的各項為正,當m=15時,求λ的取值范圍.
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【題目】某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的原材料費為每件40元,若用x表示該廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總件數(shù),則電力與機器保養(yǎng)等費用為每件0.05x元,又該廠職工工資固定支出12500元.
(1)把每件產(chǎn)品的成本費P(x)(元)表示成產(chǎn)品件數(shù)x的函數(shù),并求每件產(chǎn)品的最低成本費;
(2)如果該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)量x不超過3000件,且產(chǎn)品能全部銷售,根據(jù)市場調(diào)查:每件產(chǎn)品的銷售價Q(x)與產(chǎn)品件數(shù)x有如下關(guān)系:,試問生產(chǎn)多少件產(chǎn)品,總利潤最高?(總利潤=總銷售額-總的成本)
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【題目】如圖,直三棱柱中,,,為的中點.
(I)若為上的一點,且與直線垂直,求的值;
(Ⅱ)在(I)的條件下,設(shè)異面直線與所成的角為45°,求直線與平面成角的正弦值.
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【題目】在中國,“女排精神”概括的是頑強戰(zhàn)斗、勇敢拼搏精神.在某年度排球超級杯決賽中,中國女排與俄羅斯女排相遇,已知前四局中,戰(zhàn)成了,且在決勝局中,中國隊與俄羅斯隊戰(zhàn)成了,根據(jù)中國隊與俄羅斯隊以往的較量,每個球中國隊獲勝的概率為,假定每個球中國隊是否獲勝相互獨立,則再打不超過4球,中國隊獲得比賽勝利的概率為( )
(注:排球的比賽規(guī)則為5局3勝制,即比賽雙方中的一方先拿到3局勝利為獲勝隊,其中前四局為25分制,即在一方先得到25分,且與對方的分差大于或等于2分,則先拿到25分的一方勝;若一方拿到25分后,但雙方分差小于2分,則比賽繼續(xù),直到一方領(lǐng)先2分為止;若前四局打成,則決勝局采用15分制.)
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在四棱錐中,、、兩兩垂直,,,,為線段上一點(端點除外).
(1)若異面直線、所成角的余弦值為,求的長;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
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