【題目】如圖, 是半圓的直徑, 是半圓上除、外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 垂直于半圓所在的平面, , , .

(1)證明:平面平面;

(2)當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),求二面角的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析:

(1)利用題意首先證得平面,然后利用面面垂直的判斷定理即可證得平面平面.

(2)由題意可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),三棱錐體積最大,建立空間直角坐標(biāo)系可得二面角的余弦值為.

試題解析:

解:(1)因?yàn)?/span>是直徑,所以,

因?yàn)?/span>平面,所以,

因?yàn)?/span>,所以平面,

因?yàn)?/span>, ,

所以四邊形是平行四邊形,

所以,所以平面,

因?yàn)?/span>平面,所以平面平面.

(2)因?yàn)?/span>平面, ,

所以平面, ,

中, ,

由(1)知,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.

如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則, , .

, , .

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,即

,取,則

,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,即,

,取,則,

∴二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知圓心在軸上的圓與直線切于點(diǎn).

(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知,經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且斜率為正數(shù)的直線與圓交于兩點(diǎn).

(。┣笞C: 為定值;

(ⅱ)求的最大值.

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(1)學(xué)校規(guī)定:成績(jī)不低于75分的為優(yōu)秀,請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴?/span>聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.

附:參考公式及數(shù)據(jù)

(2)從兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)不低于90分的同學(xué)中隨機(jī)抽取3名,設(shè)為抽取成績(jī)不低于95分同學(xué)人數(shù),求的分布列和期望.

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【題目】某網(wǎng)站針對(duì)2015年中國(guó)好聲音歌手A,B,C三人進(jìn)行網(wǎng)上投票,結(jié)果如下

觀眾年齡

支持A

支持B

支持C

20歲以下

100

200

600

20歲以上(含20歲)

100

100

400


(1)在所有參與該活動(dòng)的人中,用分層抽樣的方法抽取n人,其中有6人支持A,求n的值.
(2)在支持C的人中,用分層抽樣的方法抽取5人作為一個(gè)總體,從這5人中任意選取2人,求恰有1人在20歲以下的概率.

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【題目】如圖所示,扇形AOB,圓心角AOB等于60°,半徑為2,在弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)P引平行于OB的直線和OA交于點(diǎn)C,設(shè)∠AOPθ,當(dāng)△POC面積的最大值時(shí)θ的值為___________

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【題目】已知函數(shù), ,(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1), 使得不等式成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(2)若,求證: .

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【題目】ABC中,已知=3.

(1)求證:tan B=3tan A;

(2)若cos C,求A的值.

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(1)當(dāng) 取最小值時(shí),求 的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)X滿足(1)的條件和結(jié)論時(shí),求cos∠AXB的值.

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【題目】隨著人口老齡化的到來(lái),我國(guó)的勞動(dòng)力人口在不斷減少,“延遲退休”已經(jīng)成為人們?cè)絹?lái)越關(guān)注的話題,為了解公眾對(duì)“延遲退休”的態(tài)度,某校課外研究性學(xué)習(xí)小組在某社區(qū)隨機(jī)抽取了50人進(jìn)行調(diào)查,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:

年齡

[20,25)

[25,30)

[30,35)

[35,40)

[40,45)

人數(shù)

4

5

8

5

3

年齡

[45,50)

[50,55)

[55,60)

[60,65)

[65,70)

人數(shù)

6

7

3

5

4

經(jīng)調(diào)查年齡在[25,30),[55,60)的被調(diào)查者中贊成“延遲退休”的人數(shù)分別是3人和2人.現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取2人,進(jìn)行跟蹤調(diào)查.

(I)求年齡在[25,30)的被調(diào)查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率;

(II)若選中的4人中,不贊成“延遲退休”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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