Question

【題目】設(shè)f（x）=ex﹣ax（a∈R），e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）若a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在x=0處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ex﹣x，

所以f′（x）=ex﹣1；

∴f′（0）=e0﹣1=0，f（0）=e0﹣0=1；

所以曲線y=f（x）在x=0的切線方程為y=1

（2）解：f′（x）=ex﹣a；

（i）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，即函數(shù)f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，

所以函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值為f（0）=1

（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0得到x=lna；

若lna≤0，即0＜a≤1時(shí)，在[0，1]上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，

所以函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值為f（0）=1；

若lna≥1，即a≥e時(shí)，在[0，1]上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在[0，1]上為減函數(shù)，

所以函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值為f（1）=e﹣a；

若0＜lna＜1，即1＜a＜e時(shí)，在[0，lna）上f′（x）＜0，在（lna，1]上f′（x）＞0，

即函數(shù)f（x）在[0，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，1]上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值為f（lna）=a﹣alna；

綜上所述，當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值為1；

當(dāng)1＜a＜e時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值為e﹣a；

當(dāng)a≥e時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值為a﹣alna

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（0），f（0），求出切線方程即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．