已知兩點F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)，滿足條件|PF2|-|PF1|=2的動點P的軌跡是曲線E，直線l：y=kx-1與曲線E交于A、B兩點．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）如果|AB|=6
3
，求直線l的方程．
（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，
曲線E是以F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)為焦點的雙曲線的左支
且c=
2
，a=1，易知b=1．
故曲線E的方程為x2-y2=1（x＜0）
設A（x1，y1），B（x2，y2），由題意建立方程組
y=kx-1
x2-y2=1

消去y，得（1-k2）x2+2kx-2=0
又已知直線與雙曲線左支交于兩點A，B，則
1-k2≠0
△=(2k)2+8(1-k2)＞0
x1+x2=
-2k
1-k2
＜0
x1x2=
-2
1-k2
＞0
解得-
2
＜k＜-1．
即k的取值范圍是-
2
＜k＜-1．（6分）
（Ⅱ）∵|AB|=
1+k2
•|x1-x2|
=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2

=
1+k2
•
(
-2k
1-k2
)2-4×
-2
1-k2

=2
(1+k2)(2-k2)
(1-k2)2
（8分）
依題意得2
(1+k2)(2-k2)
(1-k2)2
=6
3
，
整理后得28k4-55k2+25=0，解得k2=
5
7
或k2=
5
4

又-
2
＜k＜-1，∴k=-
5
2
，
故直線AB的方程為
5
2
x+y+1=0．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直．l與C交于A，B兩點，|AB|=12，P為C的準線上一點，則△ABP的面積為（　�。�
A．18B．24C．36D．48

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

F1，F(xiàn)2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右焦點，Q是雙曲線上動點，從左焦點引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，則P點的軌跡是（　�。┑囊徊糠郑�
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的兩條準線間距離為3，右焦點到直線x+y-1=0的距離為
2
2
．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）雙曲線C中是否存在以點P(1，
1
2
)為中點的弦，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知曲線C?x2-y2=1及直線l：y=kx-1．
（1）若l與C左支交于兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若l與C交于A、B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面積為
2
，求實數(shù)k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設拋物線y2=4x被直線y=2x+b所截得的弦長為3
5
，則b=______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線過點（3，-2），且與橢圓4x2+9y2=36有相同焦點，則雙曲線的標準方程為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=
3
2
，一曲線E過點C，且曲線E上任一點到A，B兩點的距離之和不變．
（1）建立適當?shù)淖鴺讼�，求曲線E的方程；
（2）設點Q是曲線E上的一動點，求線段QA中點的軌跡方程；
（3）設M，N是曲線E上不同的兩點，直線CM和CN的傾斜角互補，試判斷直線MN的斜率是否為定值．如果是，求這個定值；如果不是，請說明理由．
（4）若點D是曲線E上的任一定點（除曲線E與直線AB的交點），M，N是曲線E上不同的兩點，直線DM和DN的傾斜角互補，直線MN的斜率是否為定值呢？如果是，請你指出這個定值．（本小題不必寫出解答過程）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
2
，且經過點（4，-
10
）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設F1、F2為雙曲線C的左、右焦點，若雙曲線C上一點M滿足F1M⊥F2M，求△MF1F2的面積．

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