已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)是(0,-)和(0,),并且經(jīng)過(guò)點(diǎn),拋物線E的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)F恰好是橢圓C的右頂點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C和拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l1、l2,l1交拋物線E于點(diǎn)A、B,l2交拋物線E于點(diǎn)G、H,求的最小值.
(I)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為;拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(Ⅱ)最小值為16.
解析試題分析:(I)由題意得c=,,從而=1,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.該橢圓右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),即拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),所以,拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(Ⅱ)設(shè)l1的方程:,l2的方程,,,,.注意,且它們交于點(diǎn),所以可將作如下變形: ==||·||+||·||,這樣先將||·||+||·||用表示出來(lái),再利用韋達(dá)定理用表示,從而求得其最小值.
試題解析:(I)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0),焦距為2c,
則由題意得c=,,
∴a=2,=1,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 4分
∴右頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0).
設(shè)拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
∴,
∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 6分
(Ⅱ)設(shè)l1的方程:,l2的方程,
,,,,
由 消去y得:,
∴ x1+x2=2+,x1x2=1.
由消去y得:x2-(4k2+2)x+1=0,
∴x3+x4=4k2+2,x3x4=1, 9分
∴
=
=||·||+||·||
=|x1+1|·|x2+1|+|x3+1|·|x4+1|
=(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1)
=8+
≥8+
=16.
當(dāng)且僅當(dāng)即k=±1時(shí),有最小值16. 13分
考點(diǎn):1、橢圓與拋物線;2、直線與圓錐曲線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知定點(diǎn),曲線C是使為定值的點(diǎn)的軌跡,曲線過(guò)點(diǎn).
(1)求曲線的方程;
(2)直線過(guò)點(diǎn),且與曲線交于,當(dāng)的面積取得最大值時(shí),求直線的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)是曲線上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連接、,設(shè)的角平分線交曲線的長(zhǎng)軸于點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(1)已知點(diǎn)和,過(guò)點(diǎn)的直線與過(guò)點(diǎn)的直線相交于點(diǎn),設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,如果,求點(diǎn)的軌跡;
(2)用正弦定理證明三角形外角平分線定理:如果在中,的外角平分線與邊的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),其左、右頂點(diǎn)分別是、,左、右焦點(diǎn)分別是、,(異于、)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),連接交直線于、兩點(diǎn),若成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求此橢圓的離心率;
(Ⅱ)求證:以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓的右頂點(diǎn)為A(2,0),點(diǎn)P(2e,)在橢圓上(e為橢圓的離心率).
(1)求橢圓的方程;
(2)若點(diǎn)B,C(C在第一象限)都在橢圓上,滿(mǎn)足,且,求實(shí)數(shù)λ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,一個(gè)頂點(diǎn)為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)是否存在斜率為的直線,使直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),滿(mǎn)足. 若存在,求出的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知過(guò)點(diǎn)的橢圓:的右焦點(diǎn)為,過(guò)焦點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,直線,分別交橢圓的右準(zhǔn)線于,兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,試求直線的方程;
(3)記,兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為,,試問(wèn)是否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線:和⊙:,過(guò)拋物線上一點(diǎn)作兩條直線與⊙相切于、兩點(diǎn),分別交拋物線為E、F兩點(diǎn),圓心點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為.
(1)求拋物線的方程;
(2)當(dāng)的角平分線垂直軸時(shí),求直線的斜率;
(3)若直線在軸上的截距為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某校同學(xué)設(shè)計(jì)一個(gè)如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”,其中、是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的兩條弦,且其焦點(diǎn),,點(diǎn)為軸上一點(diǎn),記,其中為銳角.
(1)求拋物線方程;
(2)如果使“蝴蝶形圖案”的面積最小,求的大?
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