【題目】已知數列的奇數項是公差為的等差數列,偶數項是公差為的等差數列, 是數列的前項和,
(1)若,求;
(2)已知,且對任意的,有恒成立,求證:數列是等差數列;
(3)若,且存在正整數,使得,求當最大時,數列的通項公式.
【答案】(1)14;(2)證明見解析;(3)
【解析】試題分析:
(1)利用題意求得公差,據此可得a10=14;
(2)結合(1)的結論證得d1=d2=2即可說明數列{an}是等差數列;
(3)分類討論n的奇偶性即可得到數列的通項公式為.
試題解析:
(1)根據題意,有a1=1,a2=2,a3=a1+d1=1+d1,a4=a2+d2=2+d2,a5=a3+d1=1+2d1∵S5=16,a4=a5
∴a1+a2+a3+a4+a5=7+3d1+d2=16,2+d2=1+2d1∴d1=2, d2=3.
∴a10=2+4d2=14
(2)證明:當n為偶數時,∵an<an+1恒成立,∴,
∴
∴且d2>1
當n為奇數時,∵an<an+1恒成立,∴,
∴(1n)(d1d2)+2>0
∴
∴d1=d2
∵S15=15a8,∴
∴d1=d2=2
∴an=n
∴數列{an}是等差數列;
(3)若d1=3d2(d1≠0),且存在正整數m、n(m≠n),使得am=an,在m,n中必然一個是奇數,一個是偶數
不妨設m為奇數,n為偶數
∵am=an,∴
∵d1=3d2,∴
∵m為奇數,n為偶數,∴3mn1的最小正值為2,此時d1=3,d2=1
∴數列的通項公式為.
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【題目】迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設計方法.設方程為,用某種數學方法到處等價的形式,然后按以下步驟執(zhí)行:
(1)選一個方程的近似根,賦給變量;
(2)將的值保存于變量,然后計算,并將結果存于變量;
(3)當與的差的絕對值還小于指定的精度要求時,重復步驟(2)的計算.若方程有根,則按上述方法求得的就認為是方程的根.試用迭代法求某個數的平方根,用流程圖和偽代碼表示問題的算法.
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【題目】已知是二次函數,不等式的解集是,且在區(qū)間上的最大值是12.
(1)求的解析式;
(2)是否存在自然數,使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不等的實數根?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】某校高一(1)班的一次數學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損,可見部分如圖.
(Ⅰ)求分數在[50,60)的頻率及全班人數;
(Ⅱ)求分數在[80,90)之間的頻數,并計算頻率分布直方圖中[80,90)間矩形的高;
(Ⅲ)若要從分數在[80,100)之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況,求在抽取的試卷中,至少有一份分數在[90,100)之間的概率.
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【題目】某公司今年年初用25萬元引進一種新的設備,投入設備后每年收益為21萬元.該公司第n年需要付出設備的維修和工人工資等費用的信息如下圖.
(1)求;
(2)引進這種設備后,第幾年后該公司開始獲利;
(3)這種設備使用多少年,該公司的年平均獲利最大?
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【題目】某種商品原來每件售價為25元,年銷售8萬件.
(1)據市場調查,若價格每提高1元,銷售量將相應減少2000件,要使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價最多為多少元?
(2)為了擴大該商品的影響力,提高年銷售量,公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革,并提高定價到元,公司擬投入萬元作為技改費用,投入50萬元作為固定宣傳費用,投入作為浮動宣傳費用.試問:當該商品明年的銷售量至少應達到多少萬件時,才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時商品的每件定價.
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