Question

【題目】已知函數(shù) .
（1）討論 的單調(diào)性；
（2）當(dāng) 時(shí)，證明: 對(duì)于任意的 成立.

Answer 1

【答案】
（1）解： 的定義域?yàn)? ； .
當(dāng) ， 時(shí)， ， 單調(diào)遞增； ， 單調(diào)遞減.當(dāng) 時(shí)， .
① ， ，
當(dāng) 或 時(shí)， ， 單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減；
②a=2時(shí)， ，在 內(nèi)， ， 單調(diào)遞增；
③ 時(shí)， ，
當(dāng) 或 時(shí)， ， 單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減.
綜上所述，
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在 內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng) 時(shí)， 在 內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)， 在 內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng) ， 在 內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增.
（2）解：由（Ⅰ）知，a=1時(shí)，

， ，
令 ， .
則 ，
由 可得 ，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得等號(hào).
又 ，
設(shè) ，則 在 單調(diào)遞減，因?yàn)? ，
所以在 上存在 使得 時(shí)， 時(shí)， ，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增；在 上單調(diào)遞減，
由于 ，因此 ，當(dāng)且僅當(dāng)x=2取得等號(hào)，
所以 ，
即 對(duì)于任意的 恒成立
【解析】（1）主要考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，根據(jù)已知條件先求符合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， ， 再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判讀函數(shù)的單調(diào)性。（2）主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題，所以首先要對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形，把不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的恒成立，也就是不等式左邊的新函數(shù)的最小值大于即可，所以關(guān)鍵就是求函數(shù)的最小值的問(wèn)題，因此要構(gòu)造新函數(shù), ， 分別求函數(shù)的最小值和最大值，進(jìn)而求出函數(shù)的最小值即可得到結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．