Question

某跳水運(yùn)動(dòng)員在一次跳水訓(xùn)練時(shí)的跳水曲線(xiàn)為如圖所示的拋物線(xiàn)一段．已知跳水板AB長(zhǎng)為2m，跳水板距水面CD的高BC為3m．為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，訓(xùn)練時(shí)跳水曲線(xiàn)應(yīng)在離起跳點(diǎn)A處水平距hm（h≥1）時(shí)達(dá)到距水面最大高度4m．規(guī)定：以CD為橫軸，BC為縱軸建立直角坐標(biāo)系．
（1）當(dāng)h=1時(shí)，求跳水曲線(xiàn)所在的拋物線(xiàn)方程；
（2）若跳水運(yùn)動(dòng)員在區(qū)域EF內(nèi)入水時(shí)才能達(dá)到比較好的訓(xùn)練效果，求此時(shí)h的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知最高點(diǎn)為（2+h，4），h≥1．設(shè)拋物線(xiàn)方程為y=a[x-（2+h）]²+4，當(dāng)h=1時(shí)，最高點(diǎn)為（3，4），方程為y=a（x-3）²+4，由此能求出結(jié)果．
（2）將點(diǎn)A（2，3）代入y=a[x-（2+h）]²+4，得ah²=-1，由題意，方程a[x-（2+h）]²+4=0在區(qū)間[5，6]內(nèi)有一解，由此入手能求出達(dá)到較好的訓(xùn)練效果時(shí)h的取值范圍．

解答：解：（1）由題意知最高點(diǎn)為（2+h，4），h≥1．
設(shè)拋物線(xiàn)方程為y=a[x-（2+h）]²+4，
當(dāng)h=1時(shí)，最高點(diǎn)為（3，4），方程為y=a（x-3）²+4，
將A（2，3）代入，得3=a（2-3）²+4，
解得a=-1，
∴當(dāng)h=1時(shí)，跳水曲線(xiàn)所在的拋物線(xiàn)方程為y=-（x-3）²+4．
（2）將點(diǎn)A（2，3）代入y=a[x-（2+h）]²+4，
得ah²=-1，①
由題意，方程a[x-（2+h）]²+4=0在區(qū)間[5，6]內(nèi)有一解，
令f（x）=a[x-（2+h）]²+4=-

1

h2

[x-（2+h）]²+4，
則f（5）=-

1

h2

（3-h）²+4≥0，且f（6）=-

1

h2

（4-h）²+4≤0．
解得1≤h≤

4

3

．
故達(dá)到較好的訓(xùn)練效果時(shí)h的取值范圍是[1，

4

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)方程的求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．