Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點

Ⅰ求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

Ⅱ已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，過點的動直線與拋物線相交于A，B兩個不同的點，在線段AB上取點Q，滿足，證明：點Q總在定直線上．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

Ⅰ由題意可知解得，，即可求出橢圓方程，

Ⅱ設(shè)點Q，A，B的坐標(biāo)分別為，，，根據(jù)題意設(shè)，，，分別求出點A，B的坐標(biāo)，即可證明點Q總在定直線上。

解：Ⅰ由題意可知解得，，

故橢圓的方程為．

證明Ⅱ由已知可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

設(shè)點Q，A，B的坐標(biāo)分別為，，，

由題意知，不妨設(shè)A在P，Q之間，設(shè)，，

又點Q在P，B之間，故，

，

，

由可得解得，，

點A在拋物線上，

，

即，，

由可得解得，，

點B在拋物線上，

，

即，，．

由可得，

，

，

點Q總在定直線上