Question

【題目】在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，3sin2C+8sin2A=11sinAsinC，且c＜2a．
（1）求證：△ABC為等腰三角形
（2）若△ABC的面積為8 ．且sinB= ，求BC邊上的中線長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△ABC中3sin2C+8sin2A=11sinAsinC，

∴由正弦定理可得3c2+8a2=11ac，

分解因式可得（c﹣a）（3c﹣8a）=0

解得c=a或c= ，由c＜2a可得c=a，

故△ABC為等腰三角形；

（2）解：∵△ABC的面積為8 ，且sinB= ，

∴8 = a2 ，解得a=c=8，

由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cosB=± =±

設(shè)BC邊上的中線長(zhǎng)為x，當(dāng)cosB= 時(shí)，

由余弦定理可得x2=82+42﹣2×4×8×cosB=64，x=8；

當(dāng)cosB=﹣ 時(shí)，同理可得x2=82+42﹣2×4×8×cosB=96，x=4

【解析】（1）由已知式子和正弦定理可得3c2+8a2=11ac，分解因式結(jié)合題意可得c=a，可得△ABC為等腰三角形；（2）由題意和三角形的面積公式可得a=c=8，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cosB，利用余弦定理可得．
【考點(diǎn)精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．