【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+2(x2-3).
(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)求函數(shù)y=f(x)的極值.
【答案】(1)切線方程為3e2x+y+3e2=0;(2)極大值為f(-3)=,極小值為f(1)=-2e3.
【解析】
(1)由函數(shù),求得,得到的值,得到直線的斜率,進而求解切線的方程;
(2)令,求得和,列出表格,即可得到函數(shù)的極值.
解:(1)函數(shù)f(x)=ex+2(x2-3),
則f′(x)=ex+2(x2+2x-3)=ex+2(x+3)(x-1),
故f′(0)=-3e2,又f(0)=-3e2,
故曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y+3e2=-3e2(x-0),即3e2x+y+3e2=0.
(2)令f′(x)=0,可得x=1或x=-3,
如下表:
x | (-∞,-3) | -3 | (-3,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
所以當x=-3時,函數(shù)取極大值,極大值為f(-3)=,當x=1時,函數(shù)取極小值,極小值為f(1)=-2e3.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y2=2px(p>0)上一點P( ,m)到準線的距離與到原點O的距離相等,拋物線的焦點為F.
(1)求拋物線的方程;
(2)若A為拋物線上一點(異于原點O),點A處的切線交x軸于點B,過A作準線的垂線,垂足為點E.試判斷四邊形AEBF的形狀,并證明你的結論.
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【題目】在直角坐標系中,已知圓的圓心坐標為,半徑為,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的參數(shù)方程為:(為參數(shù)).
(1)求圓和直線l的極坐標方程;
(2)點的極坐標為,直線l與圓相交于A,B,求的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期為π,則該函數(shù)的圖象( )
A.關于直線x= 對稱
B.關于點( ,0)對稱
C.關于直線x=﹣ 對稱
D.關于點( ,0)對稱
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【題目】在△ABC中,A,B,C的對邊分別是a,b,c,3sin2C+8sin2A=11sinAsinC,且c<2a.
(1)求證:△ABC為等腰三角形
(2)若△ABC的面積為8 .且sinB= ,求BC邊上的中線長.
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【題目】在極坐標系中,圓C的方程為ρ=2acosθ(a≠0),以極點為坐標原點,極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系,設直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).
(1)求圓C的直角坐標方程(化為標準方程)和直線l的極坐標方程;
(2)若直線l與圓C只有一個公共點,且a<1,求a的值.
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【題目】設函數(shù)f(x)=|3x﹣1|+ax+3,a∈R.
(1)若a=1,解不等式f(x)≤4;
(2)若函數(shù)f(x)有最小值,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q是AD的中點.
(1)若PA=PD,求證:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若平面APD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,在線段PC上是否存在點M,使二面角M﹣BQ﹣C的大小為60°.若存在,試確定點M的位置,若不存在,請說明理由.
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