Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱中，，，，為線段的中點.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）連接，設與交于點，連接，利用中位線定理得出，再利用線面平行的判定定理可得出結論；

（Ⅱ）以為坐標原點，分別以射線、、的方向為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法以及同角三角函數(shù)的基本關系可求得二面角的正弦值.

（Ⅰ）連接，設與交于點，連接，

由題可知四邊形為矩形，所以點為的中點.

又因為是的中點，所以.

因為平面，平面，所以平面；

（Ⅱ）由題可知，，所以.

又因為平面，所以可以為坐標原點，分別以射線、、的方向為、、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，.

所以，，，.

設平面的一個法向量為.

則，令，可得.

同理可得平面的一個法向量為.

所以，

設二面角的大小為，則.

因此，二面角的正弦值為.