Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求導(dǎo)后含參數(shù)，通過分類討論容易得出結(jié)論；

（2）問題等價(jià)為在上至少有兩個(gè)不同的正根，再構(gòu)造函數(shù)求解即可．

解：（1）因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)導(dǎo)數(shù)為，

若時(shí)，，單調(diào)遞減，

若時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

即函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

若時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

綜上，若時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間，

若時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，，增區(qū)間為，

若時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，，增區(qū)間為．

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)．

令，，

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，，為增函數(shù)，在區(qū)間上遞增，

在，上的值域是

在上至少有兩個(gè)不同的正根，，令，.

求導(dǎo)得，，

令，

則，

所以在遞增，，，

∴當(dāng)，，；

當(dāng)，，.

∴在上遞減，在上遞增，

，

的最大值為．