【題目】設，為正整數(shù)，一個正整數(shù)數(shù)列滿足.對，定義集合.數(shù)列中的是集合中元素的個數(shù).

（1）若數(shù)列為5，3，3，2，1，1，寫出數(shù)列；

（2）若，，為公比為的等比數(shù)列，求；

（3）對，定義集合，令是集合中元素數(shù)的個數(shù).求證：對，均有.

【答案】（1）數(shù)列為；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意得出求出，即可得出數(shù)列；

（2）根據(jù)題意得出,從而寫出數(shù)列,假設數(shù)列中有個，個,…,個,個,結(jié)合題設條件證明,利用等比數(shù)列的求和公式即可得出；

（3）利用（2）中結(jié)論得出，接下來證明對，即可得出.

（1）

數(shù)列為

（2）由題意知，則

因為數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列為

假設數(shù)列中有個，個,…,個,個

所以

由題意可知

…

…

所以

所以

（3）對,表示數(shù)列中大于等于的個數(shù)，即

由(2)知

…

并且

所以

設，則，即，從而

故

從而，故，而，故有

設，即，根據(jù)集合的定義，有

由知，，由的定義可得

而由，故

由此，對，均有.

練習冊系列答案
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（2）設，求數(shù)列的前項和.

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(1)若在處取得最大值,求實數(shù)的值;

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